\documentclass[a4paper,11pt]{report}
%Report, de police 11 pour l'instant. Change/teste à ta guise.
 
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%Enlever le "%" avant un package pour qu'il soit actif. J'ai copy/paste ça histoire d'avoir ce qu'il faut à portée de main au cas où.
 
\begin{document}

	\begin{titlepage}

	\begin{center}
		\begin{Huge}
			Equation de propagation de la chaleur\\
			\vspace*{1cm}

			\begin{Large}
				Sébastien \bsc{Pedreau}\\
				Christian \bsc{Ingouff}\\
			\end{Large}
	
			\vspace*{1cm}
	
			Année 2012/2013\\
			Semestre 3
		\end{Huge}
	\end{center}

\end{titlepage}

\renewcommand{\contentsname}{Sommaire}
\tableofcontents


\chapter{Propagation de la chaleur}
\section{Objectif}
	Le but de cet exercice était de travailler sur des équations différentielles permettant de modéliser la propagation de la chaleur dans une barre de métal. Durant ce tp, nous avons donc dû utiliser les développements en série de Fourier ainsi que l'outil de calcul Scilab afin de résoudre ces équations et déterminer la fonction représentant la propagation de la chaleur

\section{Méthodes}
\subsection{Sujet}
Nous allons donc considérer une barre de métal de longueur 1. Nous posons l'équation (1) suivante, qui modèlise sous la forme d'une équation différentielle la propagation de la chaleur dans la barre considérée : 

\[ {\frac{\partial u} {\partial t}} = {\frac{\partial^{2} u} {\partial t^{2}}}  \]\\

Cette équation respecte les conditions initiales suivantes : \[ u(x; 0) = g(x) := x(x - 1) \] \[ u(0; t) = u(1; t) = 0 \]\\




\subsection{Solution sous la forme d'une série de Fourier}
Posons $ u_n = exp (- n^{2} \pi^{2} t) sin (n \pi x) $, et montrons que cette solution vérifie bien les conditions de (1) :
\[ {\frac{\partial u_n} {\partial t}} = (- n^{2} \pi^{2} t) exp (- n^{2} \pi^{2} t) sin (n \pi x)\]
\[ {\frac{\partial^{2} u_n} {\partial t^{2}}} = {\frac{\partial (n\pi exp (- n^{2} \pi^{2} t) cos (n \pi x))} {\partial t}}\] 
\[ => {\frac{\partial^{2} u_n} {\partial t^{2}}} = (- n^{2} \pi^{2} t) exp (- n^{2} \pi^{2} t) sin (n \pi x) \]

On retrouve donc bien l'équation $ {\frac{\partial u} {\partial t}} = {\frac{\partial^{2} u} {\partial t^{2}}} $\\
\\
De plus, \[ u_n(0; t) = exp(0) sin(0) = 0 \] 
\[u_n(1; t) = exp(-n^{2} \pi^{2}) sin (n\pi) = 0 \]

Donc $u_n$ vérifie bien les conditions initiales. On en déduit que $u_n$ est bien solution de (1).\\
\\


Posons à présent $ S_N $ une combinaison linéaire des fonctions $ u_n $ trouvées précedemment. 
\[ S_N = \sum_{n=1}^{N} \alpha_n u_n(x; t) \]

Montrons que $S_N$ est solution de l'équation (1) :
\[ {\frac{\partial S_N} {\partial t}} = {\frac{\partial } {\partial t}} (\sum_{n=1}^{N} \alpha_n u_n(x; t)) \]
\[=> {\frac{\partial S_N} {\partial t}} =  \sum_{n=1}^{N} \alpha_n {\frac{\partial u_n} {\partial t}} \]
\[=> {\frac{\partial S_N} {\partial t}} =  \sum_{n=1}^{N} \alpha_n ((- n^{2} \pi^{2} t) exp (- n^{2} \pi^{2} t) sin (n \pi x)) \]\\

De la même manière :
\[ {\frac{\partial^{2} S_N} {\partial t^{2}}} =  \sum_{n=1}^{N} \alpha_n {\frac{\partial^{2} u_n} {\partial t^{2}}} \]
\[=> {\frac{\partial^{2} S_N} {\partial t^{2}}} =  \sum_{n=1}^{N} \alpha_n ((- n^{2} \pi^{2} t) exp (- n^{2} \pi^{2} t) sin (n \pi x)) \]

On retrouve donc bien l'équation $ {\frac{\partial S_N} {\partial t}} = {\frac{\partial^{2} S_N} {\partial t^{2}}} $\\
\\
De plus, \[ S_N(0; t) = \sum_{n=1}^{N} \alpha_n u_n(0; t) = 0 \, (car \, u_n(0; t) = 0) \] 
\[S_N(1; t) = \sum_{n=1}^{N} \alpha_n u_n(1; t) = 0 \, (car \, u_n(1; t) = 0) \]

Donc $S_N$ vérifie bien les conditions initiales. On en déduit que $S_N$ est bien solution de (1).\\
\\
On cherche à exprimer $S_N$ telle que la condition initiale $S_N(x; 0) = g(x) $ soit respectée :
\[ \sum_{n=1}^{N} \alpha_n sin(n \pi x) = x(x-1)\]

Afin de pouvoir calculer cette égalité, nous allons poser g(x) sous la forme d'une série de Fourier, c'est-à-dire :
\[ g(x) = \sum_{n=0}^{1} a_n cos(n \omega t) + b_n sin(n \omega t) \]




\subsection{Coefficient de la série de Fourier}
Nous avons donc g(x) sous la forme :
\[ g(x) = \sum_{n=0}^{1} a_n cos(n \omega t) + b_n sin(n \omega t) \]


\subsubsection{Calcul de $a_n$}
On cherche à résoudre le calcul $S_N(x; 0) = g(x)$, c'est-à-dire :
\[ \sum_{n=0}^{1} a_n cos(n \omega t) + b_n sin(n \omega t) = \sum_{n=1}^{N} \alpha_n sin(n \pi x) \]
On trouve donc que $a_n$ = 0, car il n'y a aucune composante dépendant de $cos(n \pi x)$ dans $S_N$.\\

Comme $a_n$ = 0, on en déduit que g(x) est une fonction impaire. Comme g(x) est définie sur [0, 1], alors g(x) est une fonction impaire sur [-1, 1].

\subsubsection{Calcul de $b_n$}
D'après les cours sur la série de Fourier, on peut écrire $b_n$ sous la forme :
\[b_n = \frac{2}{periode} \int_{-1}^1 g(x) sin(n \pi x) \, \mathrm dx \]

Comme g(x) est une fonction impaire sur [-1, 1] et que la période est égale à 2, alors :
\[b_n = 2 \int_0^1 g(x) sin(n \pi x) \, \mathrm dx \]
\[b_n = 2 \, (\int_0^1 x^2 sin(n \pi x) \, \mathrm dx - \int_0^1 x sin(n \pi x) \, \mathrm dx )\]

En utilisant une double intégration par partie pour chaque terme, on trouve :
\[b_n = 2\left(\left[\frac{-x^{2}cos(n\pi x)} {n \pi}\right]_0^{1} + \int_0^1 \frac{2x cos(n \pi x)}{n\pi} \, \mathrm dx   - \left[\frac{-xcos(n\pi x)} {n \pi}\right]_0^{1} + \int_0^1 \frac{cos(n \pi x)}{n\pi} \, \mathrm dx \right)\]
\[ b_n = 2 \left(\frac{2}{n\pi} \left[ \frac{cos(n\pi x)}{n^{2}\pi^{2}} \right]_0^{1} \right) \]
\[ b_n = \frac{4}{n^{3}\pi^{3}} \left( (-1)^{n} - 1 \right) \]

Donc on peut écrire $S_N$ sous la forme :
\[ g(x) = \sum_{n=1}^{N} \frac{4}{n^{3}\pi^{3}} \left( (-1)^{n} - 1 \right) sin(n \omega t) \]

Donc comme $g(x) = u_n(x; 0)$, que $u_n(x; t) = exp (- n^{2} \pi^{2} t) sin (n \pi x)$ et $S_N = \sum_{n=1}^{N} \alpha_n u_n(x; t)$ on en déduit que :
\[ S_N(x; t) = \sum_{n=1}^{N} \frac{4}{n^{3}\pi^{3}} \left( (-1)^{n} - 1 \right) exp(-n^{2} \pi^{2} t) sin(n \omega t) \]

Donc comme $S_N$ est solution de l'équation (1), on en déduit que :
\[ u_n(x; t) = \sum_{n=1}^{N} \frac{4}{n^{3}\pi^{3}} \left( (-1)^{n} - 1 \right) exp(-n^{2} \pi^{2} t) sin(n \omega t) \]


\subsection{Modifions un peu nos données}
Nous reprennons l'équation (1), mais nous changeons les données initiales du problème telles que :
\[ g_1(x) = x^{2} + 1 \]
\[ u_n(0; t) = 1 \] 
\[ u_n(1; t) = 2 \]

On pose la fonction $w_n(x; t)$ = 1 + x. Vérifions que cette équation satisfait aux équations initiales :
\[ w_n(0; t) = 1 + 0 = 1 \] 
\[ w_n(l; t) = 1 + l = 2 \,(car \, la \, barre \, est \, de \, longueur \, 1) \]

Donc $w_n$ vérifie les conditions initiales proposées.

On pose la fonction v(x,t) telle qu'elle est définie dans le problème 4 (en tant que u(x,t)) :

On a d'ores et déjà démontré que v(x,t) vérifiait l'ensemble des conditions :
\[ u_t = u_xx ; x \in ]0,1[ \]
\[ u(x,0) = x(x-1) ; x \in ]0,1[ \]
\[ u(0,t) = 0 \]
\[ u(1,t) = 0 \]

On a $v_n$ qui vérifie les conditions initiales avant que l'on ne les change, donc $v_n$ peut s'écrire :
\[ v_n(x; t) = \sum_{n=1}^{N} \frac{4}{n^{3}\pi^{3}} \left( (-1)^{n} - 1 \right) exp(-n^{2} \pi^{2} t) sin(n \omega t) \]

Et on peut écrire w(x; t) telle que :
\[ w_n(x; t) = 1 + x \] 

Donc comme $u_n = v_n + w_n$ alors :
\[ u_n(x; t) = v_n(x; t) + w_n(x; t)\]
\[ u_n(x; t) =  1 + x + \sum_{n=1}^{N} \frac{4}{n^{3}\pi^{3}} \left( (-1)^{n} - 1 \right) exp(-n^{2} \pi^{2} t) sin(n \omega t) \]

\newpage

\section{Analyse des résultats}

Les problèmes présentés décrivent la répartition de la chaleur le long d'une barre de métal en fixant les températures aux extrémités. Voici deux configurations différentes :\\
u(0,t) = 0 ; u(1,t) = 0 (problème 4) et u(0,t) = 1 ; u(1,t) = 2 (problème 5)

\begin{figure}[h]
\begin{center}
	\includegraphics[width=5cm]{graph4.png}
	\caption{Aperçu du problème 4 (fonction graphPb4())}
\end{center}
\end{figure}

A t = 0, on constate que la température est d'abord moins élevée au milieu de la barre, mais la répartition de la température devient uniforme et égale à 0 (la température des extrémités) pour t > 0.35.\\

\begin{figure}[h]
\begin{center}
	\includegraphics[width=5cm]{graph5.png}
	\caption{Aperçu du problème 5 (fonction graphPb5())}
\end{center}
\end{figure}

Ici, de manière similaire au problème 4 à t = 0, la répartition de la température est d'abord irrégulière pour ensuite se stabiliser de manière affine à partir de t = 0.35.\\

On en conclut physiquement que dans une barre de métal, la température aura tendance à se répartir régulièrement le long de celle-ci selon la température de ses extrémités.

\end{document}