\documentclass[a4paper,11pt]{report}
%Report, de police 11 pour l'instant. Change/teste à ta guise.
 
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%Enlever le "%" avant un package pour qu'il soit actif. J'ai copy/paste ça histoire d'avoir ce qu'il faut à portée de main au cas où.
 
\begin{document}

On pose la fonction v(x,t) telle qu'elle est définie dans le problème 4 (en tant que u(x,t)) :



On a d'ores et déjà démontré que v(x,t) vérifiait l'ensemble des conditions :
\[ u_t = u_xx ; x \in ]0,1[ \]
\[ u(x,0) = x(x-1) ; x \in ]0,1[ \]
\[ u(0,t) = 0 \]
\[ u(1,t) = 0 \]


\section{Analyse des résultats}

Les problèmes présentés décrivent la répartition de la chaleur le long d'une barre de métal en fixant les températures aux extrémités. Voici deux configurations différentes :\\
u(0,t) = 0 ; u(1,t) = 0 (problème 4) et u(0,t) = 1 ; u(1,t) = 2 (problème 5)

\begin{figure}[h]
\begin{center}
	\includegraphics[width=5cm]{graph4.png}
	\caption{Aperçu du problème 4 (fonction graphPb4())}
\end{center}
\end{figure}

A t = 0, on constate que la température est d'abord moins élevée au milieu de la barre, mais la répartition de la température devient uniforme et égale à 0 (la température des extrémités) pour t > 0.35.\\

\begin{figure}[h]
\begin{center}
	\includegraphics[width=5cm]{graph5.png}
	\caption{Aperçu du problème 5 (fonction graphPb5())}
\end{center}
\end{figure}

Ici, de manière similaire au problème 4 à t = 0, la répartition de la température est d'abord irrégulière pour ensuite se stabiliser de manière affine à partir de t = 0.35.\\

On en conclut physiquement que dans une barre de métal, la température aura tendance à se répartir régulièrement le long de celle-ci selon la température de ses extrémités.

\end{document}
