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\begin{document}

	\begin{titlepage}

	\begin{center}
		\begin{Huge}
			Système dynamique discret\\
			\vspace*{1cm}

			\begin{Large}
				Sébastien \bsc{Pedreau}\\
				Christian \bsc{Ingouff}\\
			\end{Large}
	
			\vspace*{1cm}
	
			Année 2012/2013\\
			Semestre 4
		\end{Huge}
	\end{center}

\end{titlepage}

\renewcommand{\contentsname}{Sommaire}
\tableofcontents

\chapter {Système dynamique discret}
\section {Introduction}
	Le but de ce travail est d'étudier différents systèmes dynamiques discrets. A partir de systèmes dynamiques, nous allons faire des études de convergence, de points fixes ainsi que de périodicité. L'étude des systèmes dynamiques est notamment utile dans les recherches sur la théorie du chaos.

\section {Méthodes}
	Nous allons à présent étudier un système dynamique discret. On pose A une matrice réelle 2x2 quelconque, et notre système dynamique sera défini par la relation $x_{n+1} = A x_n$, avec $x_n$ un doublet de réels.\\

	\subsection{Orbite du système}
		On cherche à définir l'orbite du système dynamique, nous devons donc trouver l'expression de $x_n$ en fonction de sa condition initiale $x_0$. Démontrons par récurrence que $x_n = A^n x_0$ :\\

		\begin{itemize}
		\item Pour n=0 ; $x_n = A^0 x_0 =  x_0$
		\item Supposons qu'à un certain rang n, $x_n = A^n x_0$.\\
		\hspace*{5.7cm} $x_{n+1} = A x_n = A A^n x_0$\\	
		\hspace*{5.7cm} $x_{n+1} = A^{n+1} x_0$\\
		\item D'après l'axiome de réccurence, on en déduit que quelque soit n un réel, alors  $x_n = A^n x_0$.\\
		\end{itemize}

		On en déduit l'orbite du système :
		\[ O(x_0) = \{ x(0) = x_0 , ... , x(n) = A^n x_0, ... \} \]

	\subsection{Points fixes}
		On cherche à présent les points fixes du systèmes, c'est-à-dire les points qui respectent l'équation $x_{n+1} = x_n$

		\[ x_{n+1} = x_n \]
		\[ => \forall A \in M_2 ; A x_n = x_n \]
		\[ => x_n = 0 \]

		On en déduit que le doublet $x_0$ = (0, 0) est toujours un des points fixes d'un système linéaire.\\

		On sait que les points fixes du système vérifient l'équation $A x_n = x_n$. On pose $\lambda$ vecteur propre de la matrice A. On sait donc que :

		\[ x_n = A x_n = \lambda x_n \]

		On en déduit donc que les points fixes du systèmes sont liés au vecteur propre de A.

	\subsection{Périodicité}
		On cherche a déterminer si le système dynamique est périodique, et si oui, trouver sa période. On sait que le système est périodique de période p s'il existe un p tel que $x_n = x_{n+p}$.

		\[ x_n = x_{n + p} \]
		\[ => A^n x_0 = A^{n + p} x_0 \]
		\[ => A^n = A^{n + p} \]
		\[ => A^p = id_E \]

		On en déduit que le système est périodique de période p s'il existe p un entier tel que $A^p = id_E$

\subsection{Convergence}

\noindent Soit \( x_{n} \in \mathbb{R}^{2} \).
\( (x_{n})_{n \in \mathbb{N}} \) converge si et seulement si :
 \[ \exists(a,b) \in \mathbb{R}^{2}, \lim_{n \to \infty} x_{n} = (a,b) \]

\noindent Soit \( A \in \mathcal{M}_{2}(\mathbb{R}) \). On définit \( x_{n} \) par la récurrence :
\[ x_{n+1} = Ax_{n}\]\\

\noindent Nous avons démontré que \( \forall n \in \mathbb{N}, x_{n} = A^{n}x_{0} \) par récurrence. Ainsi, si \( (x_{n})_{n \in \mathbb{N}} \) converge, \( (A_{n})_{n \in \mathbb{N}} \) converge vers ses points fixes.\\

\noindent Soient \( \lambda_{1} \in Sp(A) \) et \( \lambda_{2} \in Sp(A) \) tels que \( \lambda_{1} \neq \lambda_{2} \) et \( (\lambda_{1},\lambda_{2}) \in \mathbb{R}^{2} \), et \( \{ v_{1}, v_{2} \} \) la base de vecteurs propres associés.\\

\noindent Alors \( Av_{1} = \lambda_{1}v_{1}, Av_{2} = \lambda_{2}v_{2} \), et \( \{ v_{1}, v_{2} \} \) étant une base de \( \mathbb{R}^{2} \),
\[ \forall x \in \mathbb{R}^{2}, \exists (a,b) \in \mathbb{R}^{2}, x = av_{1} + bv_{2} \]

\noindent On peut alors écrire :
\[ x_{n} = A^{n}x_{0} \]
\[ \Leftrightarrow \exists (a,b) \in \mathbb{R}^{2}, x_{n} = A^{n}(av_{1} + bv_{2}) \]
\[ \Leftrightarrow \exists (a,b) \in \mathbb{R}^{2}, x_{n} = aA^{n}v_{1} + bA^{n}v_{2} \]
\[ \Leftrightarrow \exists (a,b) \in \mathbb{R}^{2}, x_{n} = a\lambda_{1}^{n}v_{1} + b\lambda_{2}^{n}v_{2}\]\\

\noindent Nous étudierons la convergence de \( (x_{n})_{n \in \mathbb{N}} \) selon les valeurs de \( \lambda_{1} \) et \( \lambda_{2} \)\\
\begin{itemize}
\item Si \( |\lambda_{1}| < 1 \) et \( |\lambda_{2}| < 1 \), \( (\lambda_{1}^{n})_{n \in \mathbb{N}} \) et \( (\lambda_{2}^{n})_{n \in \mathbb{N}} \) convergent vers 0, donc \( (x_{n})_{n \in \mathbb{N}} \) converge vers (0,0).
\item Si \( |\lambda_{1}| > 1 \) et \( |\lambda_{2}| > 1 \), \( (\lambda_{1}^{n})_{n \in \mathbb{N}} \) et \( (\lambda_{2}^{n})_{n \in \mathbb{N}} \) divergent, donc \( (x_{n})_{n \in \mathbb{N}} \) diverge.
\item Si \( |\lambda_{1}| < 1 \) et \( |\lambda_{2}| > 1 \), \( (\lambda_{1}^{n})_{n \in \mathbb{N}} \) converge vers 0 et \( (\lambda_{2}^{n})_{n \in \mathbb{N}} \) diverge, donc \( (x_{n})_{n \in \mathbb{N}} \) diverge.
\item Si \( |\lambda_{1}| = 1 \) et \( |\lambda_{2}| < 1 \), \( (\lambda_{1}^{n})_{n \in \mathbb{N}} \) converge vers 1 et \( (\lambda_{2}^{n})_{n \in \mathbb{N}} \) converge vers 0, donc \( (x_{n})_{n \in \mathbb{N}} \) converge vers \( av_{1} \).
\item Si \( |\lambda_{1}| = 1 \) et \( |\lambda_{2}| > 1 \), \( (\lambda_{1}^{n})_{n \in \mathbb{N}} \) converge vers 0 et \( (\lambda_{2}^{n})_{n \in \mathbb{N}} \) diverge, donc \( (x_{n})_{n \in \mathbb{N}} \) diverge.\\
\end{itemize}

\section {Résultats}
D'après les méthodes énoncées précédemment, nous allons tenter de trouver les points fixes et la périodicité de certaines matrices.\\
\\
A =  $ \begin{pmatrix}
1&-1 \\
1&1
\end{pmatrix}$\\
\\
Polynôme caractéristique $\chi_A = \lambda^{2} - 2\lambda + 2 > 0 $\\
\\
Donc il n'y a pas de valeurs propres réelles. D'après la méthode vue précedemment, on en déduit que le seul point fixe du système est le point aux coordonnées (0, 0). \\
\\
Il n'existe pas de p entier tel que $A^p = I_2$, on en déduit donc qu'il n'y a ici pas de périodicité.\\

\hspace{2cm}

B = $ \begin{pmatrix}
0&-1 \\
1&0
\end{pmatrix}$\\
\\
Polynôme caractéristique $\chi_B = \lambda^{2} + 1 > 0 $\\
\\
Il n'y a donc pas de valeurs propres réelles. On en déduit que le seul point fixe du système est le point aux coordonnées (0, 0).\\
\\
On cherche à présent un entier p tel que $B^p = I_2$

\[ B^p = I_2 \]
\[ \Leftrightarrow (X^p - id_E)(B) = 0 \]

On en déduit donc que $X^p - id_E$ est un multiple de $\chi_B = \lambda^{2} + 1 > 0 $, ils partagent donc les mêmes racines. Or, $x^2 + 1 = 0 => x = i$ ou $x = -i$. Donc i et -i sont les racines de $X^p - I$, ce qui nous donne le système suivant :

\[ \left\{
    \begin{array}{ll}
      i^p - 1 = 0 \\
      (-i)^p - 1 = 0
    \end{array}
\right. \]

\[ => \left\{
    \begin{array}{ll}
      i^p = 1 \\
      (-i)^p = 1
    \end{array}
\right. \]

\[ => p = 4 \]

Donc ce système dynamique discret a une périodique de période 4. 

C = $ \begin{pmatrix}
1&0 \\
1&0.5
\end{pmatrix}$\\
\\
Polynôme caractéristique $\chi_C = \lambda^{2} - 1,5 \lambda + 0,5 = (1 - \lambda) (0,5 - \lambda) $\\
\\
On en déduit que les points fixes sont les points respectant une des deux équations suivantes :

\[ x_n = 1. x_n\] ou \[x_n = \frac{x_n}{2} \]

Comme \( Sp(C) = \{ \frac{1}{2},1 \} \), le système converge.

Il n'existe pas de p entier tel que $C^p = id_E$, on en déduit donc qu'il n'y a ici pas de périodicité.\\

\hspace{2cm}

D = $ \begin{pmatrix}
3&1 \\
1&3
\end{pmatrix}$\\
\\
Polynôme caractéristique $\chi_D = \lambda^{2} - 6 \lambda + 8 = (2 - \lambda) (4 - \lambda) $\\
\\
On en déduit que les points fixes sont les points respectant une des deux équations suivantes :

\[ x_n = 4 x_n\] ou \[x_n = 2 x_n \]

Finalement, on peut donc dire que le seul point fixe du système est le point (0, 0).\\
Comme \( Sp(D) = \{ 2,4 \} \), le système diverge.
\\
Il n'existe pas de p entier tel que $D^p = id_E$, on en déduit donc qu'il n'y a ici pas de périodicité.\\

\hspace{2cm}

E = $ \begin{pmatrix}
0,5&0 \\
1&0,5
\end{pmatrix}$\\
\\
Polynôme caractéristique $\chi_E = (0,5 - \lambda)^2 $\\
\\
On en déduit que les points fixes sont les points respectant une des deux équations suivantes :

\[ x_n =\frac{x_n}{2}\]

Finalement, on peut donc dire que le seul point fixe du système est le point (0, 0).\\
Comme \( Sp(E) = \{ \frac{1}{2} \} \), le système converge.
\\
Il n'existe pas de p entier tel que $E^p = id_E$, on en déduit donc qu'il n'y a ici pas de périodicité.\\

\hspace{2cm}

F = $ \begin{pmatrix}
2&0 \\
1&0,5
\end{pmatrix}$\\
\\
Polynôme caractéristique $\chi_F = (0,5 - \lambda) (2 - \lambda) $\\
\\
On en déduit que les points fixes sont les points respectant une des deux équations suivantes :

\[ x_n =\frac{x_n}{2}\] ou \[ x_n = 2 x_n \]

Finalement, on peut donc dire que le seul point fixe du système est le point (0, 0).\\
Comme \( Sp(F) = \{ \frac{1}{2},2 \} \), le système diverge.
\\
Il n'existe pas de p entier tel que $F^p = id_E$, on en déduit donc qu'il n'y a ici pas de périodicité.\\


\section {Analyse}

Nous analyserons ici les portraits de phase obtenus grâce à Scilab afin de confirmer nos résultats.

\includegraphics[width=9cm]{matriceA.png}

On constate, en utilisant la matrice A, que les trajectoires décrites sont en spirale, se dirigeant vers l'extérieur, avec pour seul point fixe (0,0) : elles caractérisent ainsi un système divergeant et non périodique.\\

\includegraphics[width=9cm]{matriceB.png}

Les orbites décrivent avec la matrice B des parallélogrammes avec (0,0) le seul point fixe : on observe ainsi un système périodique divergeant de période 4.\\

\includegraphics[width=9cm]{matriceC.png}

Les trajectoires sont dans le cas de la matrice C rectilignes et semblent s'arrêter sur la droite \( y = 2x \), qui regroupe les points fixes du système. Ceci signifierait que le système est convergeant non périodique vers cette droite.\\

\includegraphics[width=9cm]{matriceD.png}

Les orbites sont pour la matrice D également rectilignes mais se dirigent vers l'extérieur : le système est donc divergeant non périodique. Le seul point fixe du système est (0,0).\\

\includegraphics[width=9cm]{matriceE.png}

Les trajectoires se concentrent avec la matrice E sur le point (0,0), seul point fixe du système : le système est alors convergeant non périodique vers (0,0).\\

\includegraphics[width=9cm]{matriceF.png}

Pour la matrice F, les trajectoires fuient vers l'extérieur, avec (0,0) seul point fixe du système : le système est donc divergeant non périodique.\\

Nous relèverons dans l'ensemble que les systèmes auront davantage tendance à être divergeants et non périodiques.

\section{Méthode d'Euler}

On pose le problème de Cauchy :
\[ \left\{ \begin{array}{ll} X' = AX \\ X(0) = X_0 \end{array} \right. \]
où \( X(t) = (x_{1}(t),x_{2}(t))^T \in \mathbb{R}^2, A \in \mathcal{M}_{2}(\mathbb{R}) \).\\

On souhaite l'étudier sur un intervalle de temps \( t \in [0,T] \), que l'on subdivise en n sous-intervalles de longueur \( \Delta t \).\\
Soient \( \lambda_{1} \in Sp(A) \) et \( \lambda_{2} \in Sp(A) \).\\

\noindent On note \( B = I + \Delta tA \) la matrice de la méthode d'Euler.\\
\[ \chi_{B}(\lambda) = \text{det}(B-\lambda I) = \text{det}(\Delta tA+(1-\lambda)I) = \Delta t\text{ det}(A-\frac{\lambda -1}{\Delta t}I) \]

\noindent On a alors \( Sp(B) = \{ \frac{\lambda_{1} -1}{\Delta t}, \frac{\lambda_{2} -1}{\Delta t} \} \).

\end{document}