\documentclass[a4paper,11pt]{report}
%Report, de police 11 pour l'instant. Change/teste à ta guise.
 
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\begin{document}

\section{Etude de convergence}

\noindent Soit \( x_{n} \in \mathbb{R}^{2} \).
\( (x_{n})_{n \in \mathbb{N}} \) converge si et seulement si :
 \[ \exists(a,b) \in \mathbb{R}^{2}, \lim_{n \to \infty} x_{n} = (a,b) \]

\noindent Soit \( A \in \mathcal{M}_{2}(\mathbb{R}) \). On définit \( x_{n} \) par la récurrence :
\[ x_{n+1} = Ax_{n}\]\\

\noindent Montrons que \( P_{n} : (\forall n \in \mathbb{N}, x_{n} = A^{n}x_{0}) \) par récurrence :\\
\begin{itemize}
\item Pour n = 0, nous avons
\[ x_{0} = A^{0}x_{0} = I_{2}x_{0} = x_{0} \].
\item Supposons que \( P_{n} \) est vraie. Par conséquent,
\[ x_{n+1} = Ax_{n} = AA^{n}x_{0} = A^{n+1}x_{0} \]
\end{itemize}

\noindent Ainsi, si \( (x_{n})_{n \in \mathbb{N}} \) converge, \( (A_{n})_{n \in \mathbb{N}} \) converge vers ses points fixes, donc vers les vecteurs propres de la matrice A.\\

\noindent Soient \( \lambda_{1} \in Sp(A) \) et \( \lambda_{2} \in Sp(A) \) tels que \( \lambda_{1} \neq \lambda_{2} \) et \( (\lambda_{1},\lambda_{2}) \in \mathbb{R}^{2} \), et \( \{ v_{1}, v_{2} \} \) la base de vecteurs propres associés.\\

\noindent Alors \( Av_{1} = \lambda_{1}v_{1}, Av_{2} = \lambda_{2}v_{2} \), et \( \{ v_{1}, v_{2} \} \) étant une base de \( \mathbb{R}^{2} \),
\[ \forall x \in \mathbb{R}^{2}, \exists (a,b) \in \mathbb{R}^{2}, x = av_{1} + bv_{2} \]

\noindent On peut alors écrire :
\[ x_{n} = A^{n}x_{0} \]
\[ \Leftrightarrow \exists (a,b) \in \mathbb{R}^{2}, x_{n} = A^{n}(av_{1} + bv_{2}) \]
\[ \Leftrightarrow \exists (a,b) \in \mathbb{R}^{2}, x_{n} = aA^{n}v_{1} + bA^{n}v_{2} \]
\[ \Leftrightarrow \exists (a,b) \in \mathbb{R}^{2}, x_{n} = a\lambda_{1}^{n}v_{1} + b\lambda_{2}^{n}v_{2}\]\\

\noindent Nous étudierons la convergence de \( (x_{n})_{n \in \mathbb{N}} \) selon les valeurs de \( \lambda_{1} \) et \( \lambda_{2} \)\\
\begin{itemize}
\item Si \( |\lambda_{1}| < 1 \) et \( |\lambda_{2}| < 1 \), \( (\lambda_{1}^{n})_{n \in \mathbb{N}} \) et \( (\lambda_{2}^{n})_{n \in \mathbb{N}} \) convergent vers 0, donc \( (x_{n})_{n \in \mathbb{N}} \) converge vers 0.
\item Si \( |\lambda_{1}| > 1 \) et \( |\lambda_{2}| > 1 \), \( (\lambda_{1}^{n})_{n \in \mathbb{N}} \) et \( (\lambda_{2}^{n})_{n \in \mathbb{N}} \) divergent, donc \( (x_{n})_{n \in \mathbb{N}} \) diverge.
\item Si \( |\lambda_{1}| < 1 \) et \( |\lambda_{2}| > 1 \), \( (\lambda_{1}^{n})_{n \in \mathbb{N}} \) converge vers 0 et \( (\lambda_{2}^{n})_{n \in \mathbb{N}} \) diverge, donc \( (x_{n})_{n \in \mathbb{N}} \) diverge.
\item Si \( |\lambda_{1}| = 1 \) et \( |\lambda_{2}| < 1 \), \( (\lambda_{1}^{n})_{n \in \mathbb{N}} \) converge vers 1 et \( (\lambda_{2}^{n})_{n \in \mathbb{N}} \) converge vers 0, donc \( (x_{n})_{n \in \mathbb{N}} \) converge vers \( av_{1} \).
\item Si \( |\lambda_{1}| = 1 \) et \( |\lambda_{2}| > 1 \), \( (\lambda_{1}^{n})_{n \in \mathbb{N}} \) converge vers 0 et \( (\lambda_{2}^{n})_{n \in \mathbb{N}} \) diverge, donc \( (x_{n})_{n \in \mathbb{N}} \) diverge.\\
\end{itemize}

\noindent Nous revenons aux portraits de phase des matrices étudiés dans le problème 1
\begin{itemize}
\item \( \chi_{C}(X) = \left| \begin{array}{cc} 1-X & 0 \\ 1 & \frac{1}{2}-X \end{array} \right| = (1-X)(\frac{1}{2}-X) \Rightarrow Sp(C) = \{ \frac{1}{2},1 \} \). Or, nous pouvons constater que les orbites convergent vers la droite \( y = 2x \), ce qui s'accorde avec le quatrième cas.
\item \( \chi_{F}(X) = \left| \begin{array}{cc} 2-X & 0 \\ 1 & \frac{1}{2}-X \end{array} \right| = (2-X)(\frac{1}{2}-X) \Rightarrow Sp(F) = \{ \frac{1}{2},2 \} \).\\ Or, nous pouvons constater que les orbites divergent, ce qui s'accorde avec le troisième cas.
\end{itemize}

\end{document}