\documentclass[a4paper,11pt]{report}
%Report, de police 11 pour l'instant. Change/teste à ta guise.
 
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%Enlever le "%" avant un package pour qu'il soit actif. J'ai copy/paste ça histoire d'avoir ce qu'il faut à portée de main au cas où.
 
\begin{document}

	\begin{titlepage}

	\begin{center}
		\begin{Huge}
			Whatever\\
			\vspace*{1cm}

			\begin{Large}
				Sébastien \bsc{Pedreau}\\
				Christian \bsc{Ingouff}\\
			\end{Large}
	
			\vspace*{1cm}
	
			Année 2012/2013\\
			Semestre 4
		\end{Huge}
	\end{center}

\end{titlepage}

\setlength{\parindent}{0cm}
\section{Problème 5 : Fabrication de boîtes de conserve}
\subsection{Découpage des couvercles dans des carrés}

Le problème réside dans l'optimisation des dimensions d'une boîte de conserve afin de minimiser la quantité de matériaux nécessaires à sa fabrication.\\

On veut fabriquer des boîtes cylindriques de rayon \( r \) et de hauteur \( h \), d'un volume donné \( V \). Si on considère que les couvercles ronds des boîtes sont découpés dans des carrés de côté \( 2r \), on peut exprimer la surface totale de métal \( S_{1} \) utilisée pour une boîte ainsi :
\[ S_{1}(r,h) = 2 \times 4r^{2} + 2 \pi rh \]

Comme le volume du cylindre \( V = \pi r^{2}h \) est donné, on peut exprimer la surface de cette manière :
\[ S_{1}(r) = 8r^{2} + \frac{2V}{r} \]

\( S_{1} \) est dérivable sur \( \mathbb{R}^{*}_{+} \) et
\[ S_{1}'(r) = 16r - \frac{2V}{r^{2}} \]

\( S_{1} \) est croissante si et seulement si
\[
\begin{array}{ll}
& S_{1}'(r) \geq 0 \\
\Leftrightarrow & 0 > 16r \geq \dfrac{2V}{r^{2}} \\
\Leftrightarrow & 0 > r^{3} \geq \dfrac{V}{8} \\
\Leftrightarrow & 0 > r \geq \dfrac{\sqrt[3]{V}}{2}
\end{array}
\]
On déduit alors le rayon \( r_{0} \) qui minimise \( S_{1} \)
\[ r_{0} = \frac{\sqrt[3]{V}}{2} \]

On trouve par extension la hauteur optimale \( h_{0} \)
\[
\begin{array}{ll}
& r_{0} = \dfrac{\sqrt[3]{\pi r_{0}^{2} h_{0}}}{2} \\
\Leftrightarrow & 8r_{0}^{3} = \pi r_{0}^{2} h_{0} \\
\Leftrightarrow & h_{0} = \dfrac{8r_{0}}{\pi}
\end{array}
\]
Ainsi, on peut définir le rapport \( t_{0} = \frac{r_0}{h_0} \) de rayon et de hauteur de boîte optimal
\[ t_0 = \dfrac{r_0}{h_0} = \dfrac{\pi}{8} \]
\vspace{0.5cm}

\subsection{Découpage des couvercles dans des hexagones}

On considère maintenant le découpage des couvercles dans des hexagones de métal réguliers : les couvercles décrivent donc le cercle circonscrit aux hexagones. La surface totale de métal \( S_{2} \) utilisée pour une boîte dans ce cas est
\[ S_{2}(r,h) = 2 \times 2\sqrt{3}r^{2} + 2 \pi rh \]

On dénote que \( \forall r > 0, 2\sqrt{3}r^2 < 4r^2 \), donc la quantité de métal utilisée pour les couvercles avec des hexagones est inférieure à celle avec des carrés. Ainsi, les pertes ici sont moindres.\\

De la même manière que précédemment,
\[ S_{2}(r) = 4\sqrt{3}r^{2} + \frac{2V}{r} \]
et
\[ S_{2}'(r) = 8\sqrt{3}r - \frac{2V}{r^{2}} \]

\( S_{2} \) est croissante si et seulement si
\[
\begin{array}{ll}
& S_{1}'(r) \geq 0 \\
\Leftrightarrow & 0 > 8\sqrt{3}r \geq \dfrac{2V}{r^{2}} \\
\Leftrightarrow & 0 > r^{3} \geq \dfrac{V}{4\sqrt{3}} \\
\Leftrightarrow & 0 > r \geq \sqrt[3]{\dfrac{V}{4\sqrt{3}}}
\end{array}
\]
On déduit le rayon \( r_1 \) et la hauteur \( h_1 \) optimaux, ainsi que le rapport optimal \( t_1 \) comme précédemment
\[ r_1 = \sqrt[3]{\dfrac{V}{4\sqrt{3}}} \]
\[ h_1 = \dfrac{4\sqrt{3}}{\pi}r_{1} \]
\[ t_1 = \dfrac{r_1}{h_1} = \dfrac{\pi}{4\sqrt{3}} \]

\subsection{Application numérique}

Un client commande des boîtes cylindriques de volume\\
\( V = 125 \text{ mL} = 125 \text{ cm}^3 \) avec une précision de \( \Delta V = 0.1 \text{ mL} \) : il nous incombe de nous occuper de cette tâche de manière optimale.\\
Si on découpe les couvercles dans des hexagones de métal, le rayon \( r \) et la hauteur \( h \) seront
\[ r = \sqrt[3]{\dfrac{125}{4\sqrt{3}}} = 2.62 \text{ cm} \]
\[ h = \dfrac{4\sqrt{3} \times \sqrt[3]{\dfrac{125}{4\sqrt{3}}}}{\pi} = 5.78 \text{ cm} \]

Les machines sont initialement réglées avec une précision de\\
\( \Delta r = 1 \text{ mm} = 0.1 \text{ cm} \) sur le rayon et de
\( \Delta h = 1 \text{ mm} = 0.1 \text{ cm} \) sur la hauteur. L'erreur de volume \( \Delta V \) que cela entraîne est
\[ \Delta V = \pi (r + \Delta r)^{2} (h + \Delta h) - 125 = 12.04 \text{ mL} \]
ce qui est trop important.\\

Pour répondre aux exigences du client, il faut satisfaire l'équation suivante
\[
\begin{array}{ll} 
& \pi (r + \Delta r)^{2} (h + \Delta h) = 125.1 \text{ mL} \\
\Leftrightarrow & \pi (r + \Delta r)^{2} (r + \Delta r) \times \dfrac{4\sqrt{3}}{\pi} = 125.1 \text{ mL}\\
\Leftrightarrow & 4\sqrt{3}(r + \Delta r)^{3} = 125.1 \text{ mL} \\
\Leftrightarrow & r^{3} + 3 \Delta r r^{2} + 3 \Delta r^{2} r + \Delta r^{3} = \dfrac{125.1}{4\sqrt{3}}
\end{array}
\]
On choisit de négliger \( \Delta r^{2} \text{ et } \Delta r^{3}\), d'où
\[ \Delta r = \dfrac{\dfrac{125.1}{4\sqrt{3}}-r^{3}}{r^{2}} = 0.01 cm \]
et
\[ \Delta h = \dfrac{4\sqrt{3}}{\pi}r = 0.02 cm \]

Cependant, il est encore possible qu'avec les derniers réglages, une boîte ne puisse pas être assemblée : en effet, si un couvercle est trop petit, il ne pourra pas être concaténé au corps de la boîte. Une combine serait d'augmenter le rayon optimal de \( \Delta r \), car un excès de mesure est encore rattrapable.

\end{document}