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%Report, de police 11 pour l'instant. Change/teste à ta guise.
 
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%Enlever le "%" avant un package pour qu'il soit actif. J'ai copy/paste ça histoire d'avoir ce qu'il faut à portée de main au cas où.
 
\begin{document}

	\begin{titlepage}

	\begin{center}
		\begin{Huge}
			Whatever\\
			\vspace*{1cm}

			\begin{Large}
				Sébastien \bsc{Pedreau}\\
				Christian \bsc{Ingouff}\\
			\end{Large}
	
			\vspace*{1cm}
	
			Année 2012/2013\\
			Semestre 4
		\end{Huge}
	\end{center}

\end{titlepage}

\setlength{\parindent}{0cm}

\section{Analyse numérique}

\subsection{Analyse graphique}

Nous avons eu recours à Scilab afin de modéliser l'évolution du nombre de requins et de sardines. L'aisance de cette analyse est aidée par la fonction \textit{expm} implémentée dans Scilab, qui permet de calculer directement une exponentielle de matrice. Cela nous a permis de vérifier nos résultats, la courbe de l'expression analytique devant coincider avec l'exponentielle.

\begin{center}
\includegraphics[width=9cm]{evolution-1.png}
\end{center}

\textbf{\( (s_{0},r_{0}) = (2,1) \)}\\
En étudiant l'évolution du nombre de requins et de sardines par rapport au temps, on constate que nos résultats sont cohérents : la croissance du nombre de requins est limitée par celle des sardines.\\

\begin{center}
\includegraphics[width=9cm]{relative-1.png}
\end{center}

On constate en étudiant l'évolution relative des 2 nombres que la croissance est deux fois plus grande chez les sardines que chez les requins.

\begin{center}
\includegraphics[width=9cm]{evolution-1b.png}
\end{center}

\textbf{\( (s_{0},r_{0}) = (1,1) \)}\\
Seules les sardines sont capable de croître dans ce cas : la croissance des requins est compromise par la pénurie de sardines.

\begin{center}
\includegraphics[width=9cm]{evolution-1c.png}
\end{center}

\textbf{\( (s_{0},r_{0}) = (1,2) \)}\\
Nous étudierons seulement les valeurs positives de \( (s_{0},r_{0}) \). Les sardines se voient annihilées par les requins (vers t = 0.5, \( s_{t} = 0 \)), ce qui compromettra la croissance des requins par la suite.

\section{Schéma d'Euler}
http://www.iecn.u-nancy.fr/~sokolows/support/node72.html

\subsection{Description du schéma}
On divise le temps t en n divisions de longueur \( \Delta t \).\\
Posons la suite \( (t_{n})_{n \in \mathbb{N}} \) telle que ses termes correspondent aux délimitations de ces divisions, avec \( t_{0} = 0 \).\\
Avec cette configuration, la méthode d'Euler rend possible l'approximation de notre expression de la manière suivante :
\[ H(t_{n+1})

\subsection{Analyse graphique}



\end{document}
