\documentclass[a4paper,11pt]{report}
%Report, de police 11 pour l'instant. Change/teste à ta guise.
 
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%Enlever le "%" avant un package pour qu'il soit actif. J'ai copy/paste ça histoire d'avoir ce qu'il faut à portée de main au cas où.
 
\begin{document}

	\begin{titlepage}

	\begin{center}
		\begin{Huge}
			Calculs approchés de volume\\
			\vspace*{1cm}

			\begin{Large}
				Sébastien \bsc{Pedreau}\\
				Christian \bsc{Ingouff}\\
			\end{Large}
	
			\vspace*{1cm}
	
			Année 2012/2013\\
			Semestre 4
		\end{Huge}
	\end{center}

\end{titlepage}

\renewcommand{\contentsname}{Sommaire}
\tableofcontents

\chapter {Calculs de volume}
\section {Introduction}
	Nous connaissons de nombreuses façons mathématiques de calculer les volumes, comme la méthode par révolution. Cela permet de nombreuses applications pratiques dans notre monde, que ce soit pour un simple déménagement ou pour calculer le carburant nécessaire au décollage d'une fusée.

\hspace{0.7cm}

	Cependant, certains calculs de volume sont difficiles à calculer, et nécessiteront des calculs approchés. Nous étudierons deux méthodes de calculs approchés dans ce rapport : la méthode de moyenne, et la méthode de rejet-acceptation.

\section {Méthodes}
Pour la description des deux différentes méthodes, nous ferons nos calculs sur $\R^2$ ou sur des intervalles [a ; b], avec a et b deux réels. De plus, nous poserons :

\[ I = \int_a^b f(x) \, \mathrm dx \]

	\subsection{Méthode de moyenne}
	On utilise ici la notion de moyenne $\mu$ d'une fonction f définie et continue sur un intervalle [a ; b] tel que :

	\[ \mu = \frac{1}{Aire} \iint f(x, y) \, \mathrm dxdy \]
	\[ \rightarrow \mu \approx \frac{1}{N} \sum_{i=1 ; j=1}^N f(x_i, y_j) \]

	Ce qui nous permet de faire l'approximation suivante :

	\[ \rightarrow I \approx \frac{b - a}{N} \sum_{i=1 ; j=1}^N f(x_i, y_j) \]

	\underline{NB :} La somme permet de générer N couples (x, y)
	
	\subsection{Méthode de rejet-acceptation}
	La méthode de rejet-acceptation se base sur le fait que nous pouvons associer le calcul d'intégrale d'une fonction au calcul de l'aire sous la courbe représentant cette fonction. 

\hspace{0.7cm}

	Nous simulons donc un jeu de fléchettes en 3 dimensions, dans lequel nous lançons nos projectiles dans une sphère. Ces projectiles s'arrêtent à un endroit aléatoire dans la sphère. Si toutes les fléchettes sont lancées de la même manière, la probabilité qu'elles tombent dans une zone particulière est liée à sa taille : plus une zone sera grande, plus les fléchettes auront de chance de l'atteindre. Cette probabilité P peut être définie telle que :

	\[ P = \frac{Volume\:de\:la\:zone}{Volume\:total} \]

	Ainsi, la probabilité qu'une fléchette tombe dans le volume défini par une fonction f(x) dans la sphère S de rayon R peut se définir telle que :

	\[ P = \frac{I}{Volume\:de\:S} = \frac{I}{\frac{4}{3}\pi R^3} \]

	On cherche alors à approcher la valeur de la probabilité P. Pour cela, il nous faut effectuer un grand nombre N de tirages aléatoires das le volume V. Si on définit P comme la probabilité qu'une fléchette tombe dans le volume défini par f, on a alors :

	\[ P = \frac{card\{(x,\:y,\:z)\:tel\:que\:y\leq f(x)\}}{N} \]


\newpage
\section {Résultats}

	\subsection{Méthode de la moyenne}
	\subsubsection{Cone}On travaillera ici dans un cone de hauteur 4cm et de rayon de base 1cm.\\
\\
	Nous allons faire plusieurs tirages avec un algorithme de méthode de la moyenne grâce à l'outil informatique Scilab, en faisant varier le nombre N de points, ce qui nous permet de remplir le tableau suivant :\\

	\begin{tabular}{| l | c | c | c | r |} \hline
	   N & 100 & 1000 & 10000 & 100000 \\ \hline 
	   V moyen obtenu & 4.309 & 4.008 & 4.221 & 4.186 \\ \hline
	 \end{tabular}
\\
\\
	Le résultat exact attendu était $\frac{4}{3}\pi \approx 4.189$. On remarque donc que plus le nombre N est grand, plus le résultat est précis.

	\subsubsection{Sphère}On travaillera ici dans une sphère de rayon 2cm.\\
\\
	Nous allons faire plusieurs tirages avec un algorithme de méthode de la moyenne grâce à l'outil informatique Scilab, en faisant varier le nombre N de points, ce qui nous permet de remplir le tableau suivant :\\

	\begin{tabular}{| l | c | c | c | r |} \hline
	   N & 100 & 1000 & 10000 & 100000 \\ \hline 
	   V moyen obtenu & 32.934 & 33.738 & 33.580 & 33.550 \\ \hline
	 \end{tabular}
\\
\\
	Le résultat exact attendu était $\frac{32}{3}\pi \approx 32.510$. On remarque donc que plus le nombre N est grand, plus le résultat est précis.

	\subsubsection{Paraboloïde}
On travaillera ici dans un paraboloïde ellipsoïdal engendré par rotation autour de l’axe des abscisses du domaine délimité par la courbe d’équation $y = \sqrt{2x-4}$ sur le segment $x \in [2,\:7]$, la droite d’équation x = 7 et l’axe
des abscisses.\\
\\
	Nous allons faire plusieurs tirages avec un algorithme de méthode de la moyenne grâce à l'outil informatique Scilab, en faisant varier le nombre N de points, ce qui nous permet de remplir le tableau suivant :\\

	\begin{tabular}{| l | c | c | c | r |} \hline
	   N & 100 & 1000 & 10000 & 100000 \\ \hline 
	   V moyen obtenu & 73.462 & 79.398 & 78.153 & 78.587 \\ \hline
	 \end{tabular}
\\
\\
	Le résultat exact attendu était $ \approx $. On remarque donc que plus le nombre N est grand, plus le résultat est précis.

	\subsubsection{Volume Quelconque}
	On suppose une fonction f telle que :

	\[ f(x) = (1 - y) * (2 + sin(5\pi x)), \:(x,\: y) \in[0,\:1]\times [0,\:1] \]

	Calculons le volume V représenté par l'intégrale de f :

	\[ V = \iint f(x, y) \, \mathrm dxdy \]
	\[ \rightarrow V = \iint (1 - y) * (2 + sin(5\pi x)) \, \mathrm dxdy \]
	\[ \rightarrow V = \iint 2 \, \mathrm dxdy + \iint sin(5 \pi x) \, \mathrm dxdy - \iint 2y \, \mathrm dxdy - \iint y\:sin(5\pi x) \, \mathrm dxdy \]
	\[ \rightarrow V = 1 + \frac{1}{5 \pi} = 1.0637 \]

	Le tableau des valeurs de V obtenues avec Scilab :\\
\\
	\begin{tabular}{| l | c | c | c | r |} \hline
	   N & 100 & 1000 & 10000 & 100000 \\ \hline 
	   V moyen obtenu & 1.1489 & 1.0736 & 1.06048 & 1.06046 \\ \hline
	 \end{tabular}
\\
\\
	Le résultat exact attendu était $V \approx 1.0637$ comme montré dans le précédent calcul. On remarque donc que plus le nombre N est grand, plus le résultat est précis.

	\subsection{Méthode de rejet et acceptation}
	\subsubsection{Tore}
On travaillera ici dans un tore de section carrée engendré par la rotation du carré :

\[ \Omega = \{ (x, y) \in \R^2, 1 \leq x \leq 2, 2 \leq y \leq 3 \} \]

	Nous allons faire plusieurs tirages avec un algorithme de méthode de la moyenne grâce à l'outil informatique Scilab, en faisant varier le nombre N de points, ce qui nous permet de remplir le tableau suivant :\\

	\begin{tabular}{| l | c | c | c | r |} \hline
	   N & 100 & 1000 & 10000 & 100000 \\ \hline 
	   Moyenne obtenue & 4.309707 & 4.0084027 & 4.2206195 & 4.1858128 \\ \hline
	 \end{tabular}
\\
\\
	Le résultat exact attendu était $ \approx $. On remarque donc que plus le nombre N est grand, plus le résultat est précis.

\subsubsection{Solide}
On travaillera ici dans un solide obtenu par rotation autour de l’axe des abscisses du domaine compris entre les courbes y = $x^2$ et y = $x^{\frac{1}{3}}$.\\
\\
	Nous allons faire plusieurs tirages avec un algorithme de méthode de la moyenne grâce à l'outil informatique Scilab, en faisant varier le nombre N de points, ce qui nous permet de remplir le tableau suivant :\\

	\begin{tabular}{| l | c | c | c | r |} \hline
	   N & 100 & 1000 & 10000 & 100000 \\ \hline 
	   Moyenne obtenue & 4.309707 & 4.0084027 & 4.2206195 & 4.1858128 \\ \hline
	 \end{tabular}
\\
\\
	Le résultat exact attendu était $ \approx $. On remarque donc que plus le nombre N est grand, plus le résultat est précis.

\subsubsection{Sphère}
On travaillera ici dans une sphère centrée en zéro de rayon r définie par l’inégalité $f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2 - r^2 \leq 0$.\\
\\
	Nous allons faire plusieurs tirages avec un algorithme de méthode de la moyenne grâce à l'outil informatique Scilab, en faisant varier le nombre N de points, ce qui nous permet de remplir le tableau suivant :\\

	\begin{tabular}{| l | c | c | c | r |} \hline
	   N & 100 & 1000 & 10000 & 100000 \\ \hline 
	   Moyenne obtenue & 4.309707 & 4.0084027 & 4.2206195 & 4.1858128 \\ \hline
	 \end{tabular}
\\
\\
	Le résultat exact attendu était $ \approx $. On remarque donc que plus le nombre N est grand, plus le résultat est précis.

\section {Analyse}

\end{document}