Analyse Numérique - 4
mardi 18 février 2014
08:38
Exercice 3.2
On peut l'exprimer de deux façons, qui donnent un résulat identique avec des chiffres exacts: 
A1: (a*a)-(b*b)              A2:(a+b)(a-b)
Si a et b sont déjà inexacts, quelle va être l'inexactitude avec a², b², ou des opérations entre a et b?
Quelle opération faut-il effectuer pour limiter les erreurs?
On calcule ∆y pour A1 et A2: (voir equation 3.19):
Calcul A1:
L'algorithme est réecrit sous forme vectorielle.
ɸ = ɸ3 ○ ɸ2 ○ ɸ1
    = (ɸ3 ○ ɸ2) ○ ɸ1 
    = ψ1 ○ ɸ1 
    = ψ2 ○ (ɸ2 ○ ɸ1)
Ψ1 (k=1):
J[ψ1] = [𝑑ψ1𝑑𝑠,𝑑ψ1𝑑𝑏]=1,−2𝑏
H1 = η1000 𝑂𝑛 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑒 𝑙′𝑒𝑟𝑟𝑒𝑢𝑟 𝑙𝑜𝑟𝑠 𝑑𝑒 𝑙′𝑜𝑝é𝑟𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑎∗𝑎. 
Ψ2 (k=2):
J[ψ2] =  𝑑ψ2𝑑𝑠,𝑑ψ2𝑑𝑏=1,−1
H2 = 000η2  𝑂𝑛 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑒 𝑙′𝑒𝑟𝑟𝑒𝑢𝑟 𝑙𝑜𝑟𝑠 𝑑𝑒 𝑙′𝑜𝑝é𝑟𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑏∗𝑏. 
Ψ3 (k=3):
H3= [η3] 𝐿𝑎 𝑑𝑒𝑟𝑛𝑖è𝑟𝑒 𝑜𝑝é𝑟𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛(𝑠𝑜𝑢𝑠𝑡𝑟𝑎𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛)𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑞𝑢𝑒 𝑡𝑜𝑢𝑡 𝑑𝑒 𝑚ê𝑚𝑒 𝑢𝑛𝑒 𝑒𝑟𝑟𝑒𝑢𝑟.
Calcul A2
Calcul de ∆2:
Comparaison Finale
A2 est meilleur que A1 si:
ψ1=(ɸ3 ○ ɸ2)
ψ2=ɸ3
D’où le calcul de ∆1:
∆y ≈ 2𝑎,−2𝑏∆a∆b
        + 1,−2𝑏η1000sb
        +1,−1000η2st
        +[η3](𝑎2−𝑏2)
∆y ≈ 2a∆a −2b∆b+a2η1−𝑏2η2+ η3(𝑎2−𝑏2)
<- Algo à i=1
<- Algo à i=2
<- Algo à i=3
J[ψ1] = 𝑠,−𝑠,𝑎−𝑏
H1 = 00000000η1
J[ψ2] = 𝑠,𝑡
H2 = 000η2  
H3= [η3]
Les 𝜀 représentent l'erreur.