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     % des césures correctes pour les mots accentués
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% %     }




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\newcommand{\C}{\mathbb C}

\newcommand{\norm}[1]{\left\Vert#1\right\Vert}
\newcommand{\essnorm}[1]{\norm{#1}_{\text{\rm\normalshape ess}}}
\newcommand{\abs}[1]{\left\vert#1\right\vert}
\newcommand{\set}[1]{\left\{#1\right\}}
\newcommand{\seq}[1]{\left<#1\right>}
\newcommand{\eps}{\varepsilon}
\newcommand{\To}{\longrightarrow}
\newcommand{\RE}{\operatorname{Re}}
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\newcommand{\Poly}{{\cal{P}}(E)}
\newcommand{\EssD}{{\cal{D}}}
% THEOREMS ---------------------------------------------------------------
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\newtheorem{thm}{ \bf Théorème}[section]
\newtheorem{cor}[thm]{Corollaire}
\newtheorem{lem}[thm]{Lemme}
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%
\theoremstyle{definition}
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\def\l{\lambda}
\def\la{\langle}
\def\ra{\rangle}
\def\gm{\gamma}
\def\ck{\mathcal{K}}
\def\al{\alpha}
\def\fn{f^{(n)}}
\def\sg{\Sigma}
\def\sp{\sigma}
\def\N{\mathbb{N}}
\def\Z{\mathbb{Z}}
\def\card{\mbox{Card}}
\def\tq{\mbox{t.q.}}
\def\Q{\mathbb{Q}}

\def\ve{\varepsilon}
\def\dl{\delta}
\def\cj{\cal{J}}
 \def\L{{\cal L}}
\def\beq{\begin{equation}}
 \def\Or{{\cal O}}
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\def\argth{\mbox{argtanh}}
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%%% ----------------------------------------------------------------------

%%% ----------------------------------------------------------------------
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\begin{document}
 \pagenumbering{arabic}

\pagestyle{plain}



\title{   \begin{large} EISTI \textsc{Département Mathématiques} \hfill  Année scolaire: 2009-2010 \end{large}\\ \vskip 0.2cm \hrule \vskip 1cm  \textbf{\textsc{Modélisation mathématique}} \\  \vskip 0.2cm \hrule \vskip 0.5cm \textbf{Séances 3-4. Annexe.}\\ \vskip 0.2cm  \textbf{\textsc{Thème: }}Séries  de Fourier}

 \maketitle



\tableofcontents



 \section{ Introduction }


\bigskip
Dans cette partie annexe nous allons aborder les applications de la transformée  de Fourier à l'analyse fréquentielle des signaux. 
 \newpage

\section{Séance 3. Annexe}

\bigskip

\subsection{Transformée de Fourier et les fréquences}

\bigskip

  Les sons que nous entendons sont des ondes qui se propagent dans l'air, par exemple, par les oscillations  de la pression. Ce sont ces oscillations  qui 
  sont captées par l'oreille  et transformées ensuite  en signaux électriques arrivant  jusqu'au cerveau. Ce  sont  les fréquences de  ces oscillations qui déterminent notre perception des sons et nous permettent de les distinguer entre eux. 
   Voici par exemple, deux ondes correspondantes  aux sons de flute et de bass:
   
\begin{figure}
  % Requires \usepackage{graphicx}
  \includegraphics[width=7cm]{flute_sig.png}\\
  \caption{son de flute}\label{fig1}
\end{figure}
   
  
  \begin{figure}
  % Requires \usepackage{graphicx}
  \includegraphics[width=7cm]{Bass.png}\\
  \caption{son de bass}\label{fig2}
\end{figure}
   
  On peut considérer un signal comme une fonction de temps, $s(t)$. Si la durée  du signal est finie, $T$ on peut le considérer comme une fonction périodique de période $T$. Alors  la série de Fourier  d'une telle fonction  peut être interprétée  comme la décomposition  du signal en somme de signaux particuliers,
  $$
  \cos\left(\frac{2\pi n}{T}t \right)  \ \mbox{et}\ \sin\left(\frac{2\pi n}{T}t \right) 
  $$
  Dans le cas  de signal sonore il s'agit de représenter une onde complexe, de fréquence $\ds \frac{1}{T}$ comme somme d'ondes simples, sinusoïdales, dont les fréquences sont  des multiples  de $\ds \frac{1}{T}$. 
  
  C'est cette décomposition  en fréquences pures  qui distingue un son de l'autre. On appelle l'ensemble de coefficients de Fourier d'un signal le \textbf{spectre de fréquences}. La représentation graphique de la suite de 
  $$
  |C_n|=\sqrt{a_n^2+b_n^2}
  $$
  s'appelle le spectre d'amplitude. Elle permet de visualiser la composition d'un son en fréquences pures et étudier ses propriétés.
  
  Par exemple, pour les deux signaux que nous avons cités ci-dessus voici les spectres:

\begin{figure}
  % Requires \usepackage{graphicx}
  \includegraphics[width=10cm,height=6cm]{flute.png}\\
  \caption{son de flute}\label{fig1}
\end{figure}


  \begin{figure}
  % Requires \usepackage{graphicx}
  \includegraphics[width=10cm,height=6cm]{Bass_sp.png}\\
  \caption{son de bass}\label{fig2}
\end{figure}

La fréquence $\ds \frac{1}{T}$ s'appelle la fondamentale. La grandeur des coefficients dans la décomposition reflète l'importance relative  des fréquences correspondantes. Si la fréquence  est petite, on dis que le son est bas. Si elle est grande on dit qu'il est haut. On peut ainsi "voir" les caractéristiques d'un son en observant  son spectre de fréquences. On remarquera alors  que le son de bass est "bas" car composé essentiellement des fréquences basses  et  que le son de flûte est plus haut. 

 

\begin{exo}\textbf{ Synthèse de son}

  A l'aide de scilab on peut extraire des informations d'un fichier sonore au format WAV et enregistrer un tel fichier. Voici les commandes:
  \begin{verbatim}
    y=wavread('MonJoliSon.wav',[1 M] );// lit dans le fichier indiqué les M premiers echantillons  et les stocke dans le vecteur ligne y
     wavwrite(y,'toto.wav');//enregistre le tableau y comme fichier wav
  \end{verbatim}
  

  \begin{enumerate}
    \item  Vous trouverez sur AREL un fichier Scilab  et deux fichiers son. Il s'agit d'enregistrements  d'un même mot, pomme, prononcé par deux voix différentes.
    Le fichier scilab permet de lire les données des deux sons, les afficher, calculer les spectres et afficher également les spectres. 
    exécutez le fichier et dites lequel des deux sons est plus grave. Ecoutez les et vérifiez votre analyse. 
    \item   Mixez les deux sons, en calculant leur spectre moyen. Enrestrez. Ecoutez. 
    \item Amusez vous à transformer le spectre  et observer le résultat sur le son. 
     

  \end{enumerate}




\end{exo}
 
\end{document}