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     % encodage pour les fontes EC (au lieu de CMR) permettant
     % des césures correctes pour les mots accentués
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     % Document avec accents format windows, la ligne précédente
     % n'est pas nécessaire si on utilise \`a pour à, etc.
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%
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%
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% %     \fancyhead{} % get rid of headers
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% %            % and the line
% %     }




\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\C}{\mathbb C}

\newcommand{\norm}[1]{\left\Vert#1\right\Vert}
\newcommand{\essnorm}[1]{\norm{#1}_{\text{\rm\normalshape ess}}}
\newcommand{\abs}[1]{\left\vert#1\right\vert}
\newcommand{\set}[1]{\left\{#1\right\}}
\newcommand{\seq}[1]{\left<#1\right>}
\newcommand{\eps}{\varepsilon}
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\newcommand{\RE}{\operatorname{Re}}
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\newcommand{\Poly}{{\cal{P}}(E)}
\newcommand{\EssD}{{\cal{D}}}
% THEOREMS ---------------------------------------------------------------
\theoremstyle{plain}
\newtheorem{thm}{ \bf Théorème}[section]
\newtheorem{cor}[thm]{Corollaire}
\newtheorem{lem}[thm]{Lemme}
\newtheorem{prop}[thm]{Proposition}

%
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%
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\newenvironment{sol}[1][]{  \bigskip \hrule\bigskip \textbf{Solution de l'exercice \ref{#1}   } \begin{quote}  }{\bigskip \hrule\bigskip\end{quote}}





\def\ii{^{-1}}
\def\l{\lambda}
\def\la{\langle}
\def\ra{\rangle}
\def\gm{\gamma}
\def\ck{\mathcal{K}}
\def\al{\alpha}
\def\fn{f^{(n)}}
\def\sg{\Sigma}
\def\sp{\sigma}
\def\N{\mathbb{N}}
\def\Z{\mathbb{Z}}
\def\card{\mbox{Card}}
\def\tq{\mbox{t.q.}}
\def\Q{\mathbb{Q}}

\def\ve{\varepsilon}
\def\dl{\delta}
\def\cj{\cal{J}}
 \def\L{{\cal L}}
\def\beq{\begin{equation}}
 \def\Or{{\cal O}}
\def\ds{\displaystyle}
\def\co{\cal{O}}
\def\enq{\end{equation}}

\def\argth{\mbox{argtanh}}
\def\argsinh{\mbox{argsinh}}
 \def\argcosh{\mbox{argcosh}}
\def\C{\mathbb{C}}
%%% ----------------------------------------------------------------------

%%% ----------------------------------------------------------------------
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\begin{document}
 \pagenumbering{arabic}

\pagestyle{plain}



\title{   \begin{large} EISTI \textsc{Département Mathématiques} \hfill  Année scolaire: 2009-2010 \end{large}\\ \vskip 0.2cm \hrule \vskip 1cm  \textbf{\textsc{Modélisation mathématique}} \\  \vskip 0.2cm \hrule \vskip 0.5cm \textbf{Séances 3-4}\\ \vskip 0.2cm  \textbf{\textsc{Thème: }}Séries  de Fourier}

 \maketitle



\tableofcontents



 \section{ Introduction }


\bigskip

Ces  deux séances seront consacrées à l'étude des applications pratiques des séries de Fourier. On y apprendra également à utiliser Scilab pour  tracer les graphiques de fonctions d'une variable.

 \newpage

\section{Séance 3}

\bigskip

\subsection{Un peu de Scilab}

\bigskip

\subsubsection{Les tableaux avec Scilab}


  L'utilisation de matrices et vecteurs  est généralisée  en Scilab. Beaucoup de fonctions  sont définies avec  des arguments sous forme de vecteurs ou  de matrices.
  Une matrice  est un tableau  de $n$ lignes et $m$ colonnes.  On peut définir une matrice explicitement:
  \begin{verbatim}
    A=[1, 2, 3;4,5,6]
  \end{verbatim}

 \textcolor[rgb]{1.00,0.00,0.00}{\textbf{ A remarquer: }} on sépare les éléments d'une même ligne par  des virgules (ou des espaces)  et les lignes  entre elles par des ";".

 Voici quelques commandes qui créent  des matrices simples:
 \begin{verbatim}
    I=eye(n);//crée une matrice identité de taille n

    Z=zeros(n,m); // crée une matrice nulle  de n lines et m colonnes

    U=ones(n,m);  // crée une matrice de taille n x m remplie de 1

 \end{verbatim}

 Les opérations algébriques sur les matrices sont simples, à condition de respecter les dimentions


 \begin{verbatim}
    A=[1, 2, 3;4,5,6];

    B=ones(2,3);

     C=A'; // transposée
     D=A+0.5*B; // somme et multiplication par une constante
     E=C*D; // multiplication de matrices


 \end{verbatim}

 Les vecteurs sont des cas particuliers de matrices:  soit des matrices lignes, soit des matrices colonnes.
 \begin{verbatim}
    x=[1, 2, 3]; // vecteur ligne

    y=ones(3,1); // vecteur colonne

      z=A*y;     // multiplication de matrice et de vecteur colonne


 \end{verbatim}


 Pour accéder aux éléments d'une matrice on utilise la syntaxe suivante
\begin{verbatim}
    a=A(1,3); // coefficient  de la première ligne, 3ème colonne

    b= x(2); // dans le cas d'un vecteur ligne ou colonne il suffit d'indiquer la position dans le vecteur


 \end{verbatim}

 Pour créer une subdivision d'un intervalle avec un pas donné:
 \begin{verbatim}
 dt=0.1;
     t=t0:dt:t1;

 \end{verbatim}
 Cette syntaxe crée un vecteur ligne  dont les éléments  sont définis par $t(i)=t0+i*dt$. Il est ainsi possible de l'utiliser comme un vecteur.

 Enfin, de nombreuses fonctions élémentaires acceptent  des arguments matriciels. Par exemple
 \begin{verbatim}
 dt=0.1;
     t=t0:dt:t1;
s=sin(t);
 \end{verbatim}
 La dernière commande est équivalente au calcul  d'un tableau de valeurs  de la fonction $\sin(t)$ dans tous les points  du tableau $t$:
 \begin{verbatim}
 dt=0.1;
     t=t0:dt:t1;
 for i=1:length(t)// ici length(t) renvoie le nombre d'éléments de t
 s(i)=sin(t(i));
 end

 \end{verbatim}

 



\subsubsection{Les graphiques avec Scilab}

\begin{description}
  \item[Fonctions d'une variable] Pour une fonction  $ f(x)$ d'une seule variable le graphique est défini par la donnée de  deux tableaux:
  \begin{itemize}
    \item $x$ les points d'absisses
    \item $y$ les points $y(i)=f(x(i))$
  \end{itemize}

  La commande \verb"plot2d(x,y)" crée une fenêtre graphique et y affiche les points.
  \item[Fonctions de deux variables] Pour une fonction  $ f(x,y)$   le graphique est défini par la donnée de trois tableaux:
  \begin{itemize}
    \item $x$ les points d'absisses, $y$ les points d'ordonnée
    \item $z$ la matrice dont le nombre de lignes est la taille de $x$ et le nombre de colonnes  est la taille  de $y$ et telle que
    $$
    z(i,j)=f(x(i),y(j))
    $$
  \end{itemize}

  La commande \verb"plot3d(x,y,z)" crée une fenêtre graphique et y affiche les points.
\end{description}

\begin{exo} 
  \begin{enumerate}
    \item  Créer une fonction de deux arguments : $n\in \N$ et $x\in\R$  qui renvoie
    $$
    \sin(n\pi x)
    $$
    \item Tracer le graphe de cette fonction pour différents choix de $n$ sur l'intervalle $[-\pi,\pi]$.
    \item  Définir une fonction  de deux arguments $x$ et $t$ qui renvoie
    $$
    e^{-t}\sin(2\pi x)
    $$
    Tracer  son graphe  sur le rectangle $[-\pi,\pi]\times [0,1]$.
  \end{enumerate}

\end{exo}


\subsection{Une fonction et sa série de Fourier}

\begin{exo}\textbf{  Convergence d'une série de Fourier. Phénomène de Gibbs}

 Nous allons considérer ici une fonction périodique de période $2\pi$.

  \begin{enumerate}
    \item   Quelles sont les fonctions auxquelles on peut associer une série de Fourier
    $$
    \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\cos(nx)+b_{n}\sin(nx)
    $$
    avec
    $$
    a_{n}=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos( n x) dx,\ \  b_{n}=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin( n x) dx,\ \
$$

    Est ce que les mêmes fonctions peuvent toujours être décomposées  en série de Taylor?
    \item  Soient les fonctions
    $$
    f(x)=(x-\pi)(x+\pi),\ \ g(x)=\frac{x-\pi}{2}
    $$
    \begin{enumerate}
      \item Est ce que ces fonctions peuvent être décomposées en  série de Fourier?
      \item Si oui, calculer  leurs coefficients de Fourier
      \item Tracer les graphes  de ces fonctions avec Scilab

      \item Calculer les sommes partielles (pour $n=1,2,5,10,40$) des séries de Fourier des deux fonctions et les tracer. Que observez vous? Pouvez vous expliquer vos observations?
    \end{enumerate}

  \end{enumerate}




\end{exo}
\bigskip

\begin{exo}
  \textbf{Comment calculer les coefficients de Fourier?}
Nous allons considérer ici une fonction périodique de période $1$ $f(t)$.  On supposera que $f$ est de classe $C^p[0,1]$ avec $p\ge 2$. On va travailler avec la forme complexe  de la série de Fourier  de $f$
$$
\sum_{n=-\infty}^{+\infty}c(n)e^{2\pi i n x}
$$
où
$$
c(n)=\int\limits_{0}^1 f(t)e^{-2\pi i n t} dt
$$
\begin{enumerate}
  \item Soit une fonction
   $$
   f(x)=e^{-x^2}
   $$
    sur l'intervalle $[0,1]$. Pouvez vous calculer les coefficients de Fourier? Si oui, comment? Si non, pourquoi? 
  \item Pour calculer de façon approcher les coefficients de Fourier d'une fonction  on propose le procédé suivant.  On choisit un par $\Delta t$ et on définit une subdivision régulière de l'intervalle $[0,1]$
      $$
      0=t_0<t_1<\cdots <t_M=1,\ \ t_k=k*\Delta t=\frac{k}{M}
      $$
       et on pose
       $$
       \widetilde{c_{M}(n)}=\frac{1}{M}\sum_{k=0}^{M-1}f\left(\frac{k}{M}\right)e^{-2\pi i n \frac{k}{M}}
       $$
       Expliquer pourquoi quand $M\to\infty$ on a $ \widetilde{c_{M}(n)}\to c(n)$.
 
       
   
\end{enumerate}
   
\end{exo}

\bigskip

 \subsection{Transformée de Fourier discrète et  techniques de compression}

\begin{exo}
 

  En utilisant les résultats de l'exercice précédent on peut  définir une transformation  qui est une approximation de la série de Fourier pour une fonction. Soit $N\in\N$. On considère la somme partielle d'ordre $N$ de la série de Fourier
$$
S_N(x)=\sum_{n=-N}^{N}c(n)e^{2\pi i n x}
$$
où
$$
c(n)=\int\limits_{0}^1 f(t)e^{-2\pi i n t} dt
$$

Ensuite on choisit de subdiviser l'intervalle $[0,1]$ en précisément $M=2N$ intervalles pour le calcul approché  des coefficients. On obtient ainsi les $2N$ coefficients de Fourier approchés:
$$
c_{2N}(n)=\frac{1}{2N}\sum_{k=0}^{2N-1}f\left(\frac{k}{2N}\right)e^{-2\pi i n \frac{k}{2N}}
$$
Cette construction permet  de retrouver précisément les valeurs de la fonction $f$ aux points  de la subdivision $t_k=\ds \frac{k}{2N}$ par l'égalité
$$
f\left(\frac{k}{2N}\right)=\sum_{k=-N}^{N}c_{2N}(n) e^{2\pi i n \frac{k}{2N}}
$$
 Nous allons d'abord le constater par expérience.
\begin{enumerate}
  \item Soit une fonction
   $$
   f(x)=x(1-x)
   $$
    sur l'intervalle $[0,1]$. On utilisera la commande \verb"dft" de scilab pour calculer les coefficients de Fourier. 
    
    \begin{verbatim}

fGraph=zeros(1,2*N+1);
for k=1:2*N+1
  fGraph(k)=f(t(k));
end
xset("window", 2);
plot2d(t,fGraph);// représentation graphique de la fonction

Cn=dft(fGraph,-1)// transformée de Fourier discrete

xset("window", 3);
plot2d(0:2*N,abs(Cn));// représentation graphique des coefficients de Fourier

fn=dft(Cn,1)// transformée de Fourier discrete inverse



xset("window", 4);
plot2d(t,fn);// représentation graphique des coefficients de Fourier

\end{verbatim}
    
  \item  On rappelle ici la propriété importante des coefficients de Fourier d'une fonction  de classe $C^p$. Il existe une constante $C$ telle que  pour tout $n\in\Z$
      $$
      |c(n)|\le\frac{C}{|n|^p}
      $$
      
      On dispose  d'un enregistrement numérique  d'un signal comportant $2*N+1$ échantillons. Comment peut on approcher ce signal par un autre qui prend moins de place (moins d'échantillons)?

\end{enumerate}

\end{exo}

\section{Séance 4. Equation de propagation de la chaleur}

\bigskip


Cette   séance est consacrée à un travail autonome en classe. \textbf{La présence à cette séance  est obligatoire. }
 On vous propose de résoudre un problème énoncé ci-dessous. A la fin de la séance de travail  vous devez déposer sur AREL un résumé de 1-3 pages  de vos résultats.
 Voici quelques recommandations pour la rédaction de ce document.
 \begin{itemize}
   \item Vous  devez y exposer votre analyse du problème  et la solution  que  vous avez imaginée.
   \item Il est fondamental que toute affirmation de votre part soit justifiée et argumentée avec la plus grande  rigueur mathématique. C'est le points essentiel  qui sera jugé.
   \item Si des résultats numériques ont été obtenus dans votre étude  consacrez quelques lignes à leur analyse. Sont ils, selon vous, conformes aux attentes?
   \item Décrivez la manière dont vous avez procédé pour trouver la solution, les sources documentaires que  vous avez consultées (livres, notes de cours, web)
   \item Il n'est pas interdit de débattre de vos idées avec vos camarades de classe, mais votre rédaction doit rester strictement personnelle!
 \end{itemize}

\begin{exo}
  Soit l'équation aux dérivées partielles
  $$
  \frac{\partial u}{\partial t}= \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}
  $$
  On cherche  une fonction $u(x,t)$, définie sur l'ensemble $[0,1]\times \R_+$, deux fois continûment dérivable selon $x$ et une fois continûment dérivable selon $t$ 
  qui vérifie cette équation et les conditions aux limites
  $$
  u(0,t)=u(1,t)=0
  $$
  et initiale
  $$
  u(x,0)=g(x)
  $$
   où $g(x)\in C^2[0,1],\ \ g(0)=g(1)=0$. 
   
   \begin{enumerate}
     \item Montrez que pour tout $n\in\N^\ast$ les fonctions 
     $$
     u_n(x,t)=e^{-n^2\pi^2 t}\sin(n\pi x)
     $$
     vérifient l'équation ci-dessous  et les conditions aux limites : $u_n(0,t)=u_n(1,t)=0,\ \ \forall t\in\R_+$.
     \item Montrer que toute combinaison linéaire des fonctions $u_n(x,t)$  de type 
     $$
     s_N(x,t)=\sum_{n=1}^N \alpha_n e^{-n^2\pi^2 t}\sin(n\pi x)
     $$
     vérifie la même équation et les mêmes conditions aux limites. 
     \item  Est-il possible de trouver un $N$ et des coefficients $\alpha_n$ pour que la condition initiale soit également satisfaite: $S_N(x,0)=g(x)$? 
     
     \item Pour une fonction $g(x)$ quelconque, est il possible de trouver la solution de l'équation qui vérifie les conditions aux limites et initiale  sous forme d'une série? Si oui, comment déterminer les coefficients $\alpha_n$?
         
         \item Expérimentez votre solution pour 
         $$
         g(x)=x(1-x)
         $$
         Trouvez la solution  et représentez son graphe à l'aide de scilab. 
   \end{enumerate}
\end{exo}


\end{document}
