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     % des césures correctes pour les mots accentués
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% %     }




\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\C}{\mathbb C}

\newcommand{\norm}[1]{\left\Vert#1\right\Vert}
\newcommand{\essnorm}[1]{\norm{#1}_{\text{\rm\normalshape ess}}}
\newcommand{\abs}[1]{\left\vert#1\right\vert}
\newcommand{\set}[1]{\left\{#1\right\}}
\newcommand{\seq}[1]{\left<#1\right>}
\newcommand{\eps}{\varepsilon}
\newcommand{\To}{\longrightarrow}
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\newcommand{\Poly}{{\cal{P}}(E)}
\newcommand{\EssD}{{\cal{D}}}
% THEOREMS ---------------------------------------------------------------
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\newtheorem{cor}[thm]{Corollaire}
\newtheorem{lem}[thm]{Lemme}
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%
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\newenvironment{sol}[1][]{  \bigskip \hrule\bigskip \textbf{Solution de l'exercice \ref{#1}   } \begin{quote}  }{\bigskip \hrule\bigskip\end{quote}}





\def\ii{^{-1}}
\def\l{\lambda}
\def\la{\langle}
\def\ra{\rangle}
\def\gm{\gamma}
\def\ck{\mathcal{K}}
\def\al{\alpha}
\def\fn{f^{(n)}}
\def\sg{\Sigma}
\def\sp{\sigma}
\def\N{\mathbb{N}}
\def\Z{\mathbb{Z}}
\def\card{\mbox{Card}}
\def\tq{\mbox{t.q.}}
\def\Q{\mathbb{Q}}

\def\ve{\varepsilon}
\def\dl{\delta}
\def\cj{\cal{J}}
 \def\L{{\cal L}}
\def\beq{\begin{equation}}
 \def\Or{{\cal O}}
\def\ds{\displaystyle}
\def\co{\cal{O}}
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\def\argth{\mbox{argtanh}}
\def\argsinh{\mbox{argsinh}}
 \def\argcosh{\mbox{argcosh}}
\def\C{\mathbb{C}}
%%% ----------------------------------------------------------------------

%%% ----------------------------------------------------------------------
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\begin{document}
 \pagenumbering{arabic}

\pagestyle{plain}



\title{   \begin{large} EISTI \textsc{Département Mathématiques} \hfill  Année scolaire: 2009-2010 \end{large}\\ \vskip 0.2cm \hrule \vskip 1cm  \textbf{\textsc{Modélisation mathématique}} \\  \vskip 0.2cm \hrule \vskip 0.5cm \textbf{Séances 7-8}\\ \vskip 0.2cm  \textbf{\textsc{Thème: }}Séries  de Fourier}

 \maketitle



\tableofcontents



 \section{ Introduction }


\bigskip

Ces  deux séances seront consacrées à l'étude des applications pratiques des séries de Fourier.

 \bigskip


\section{Séance 5}

\bigskip



 \subsection{Transformée de Fourier discrète et  techniques de compression}



\begin{exo}
  \textbf{Comment calculer les coefficients de Fourier?}
Nous allons considérer ici une fonction périodique de période $1$ $f(t)$.  On supposera que $f$ est de classe $C^p[0,1]$ avec $p\ge 2$. On va travailler avec la forme complexe  de la série de Fourier  de $f$
$$
\sum_{n=-\infty}^{+\infty}c(n)e^{2\pi i n x}
$$
où
$$
c(n)=\int\limits_{0}^1 f(t)e^{-2\pi i n t} dt
$$
\begin{enumerate}
  \item Soit une fonction
   $$
   f(x)=e^{-x^2}
   $$
    sur l'intervalle $[0,1]$. Pouvez vous calculer les coefficients de Fourier? Si oui, comment? Si non, pourquoi?
  \item Pour calculer de façon approchée les coefficients de Fourier d'une fonction  on propose le procédé suivant.  On choisit un par $\Delta t$ et on définit une subdivision régulière de l'intervalle $[0,1]$
      $$
      0=t_0<t_1<\cdots <t_M=1,\ \ t_k=k*\Delta t=\frac{k}{M}
      $$
       et on pose
       $$
       \widetilde{c_{M}(n)}=\frac{1}{M}\sum_{k=0}^{M-1}f\left(\frac{k}{M}\right)e^{-2\pi i n \frac{k}{M}}
       $$
       Expliquer pourquoi quand $M\to\infty$ on a $ \widetilde{c_{M}(n)}\to c(n)$.



\end{enumerate}

\end{exo}

\bigskip

\begin{exo}


  En utilisant les résultats de l'exercice précédent on peut  définir une transformation  qui est une approximation de la série de Fourier pour une fonction. Soit $N\in\N$. On considère la somme partielle d'ordre $N$ de la série de Fourier
$$
S_N(x)=\sum_{n=-N}^{N}c(n)e^{2\pi i n x}
$$
où
$$
c(n)=\int\limits_{0}^1 f(t)e^{-2\pi i n t} dt
$$

Ensuite on choisit de subdiviser l'intervalle $[0,1]$ en précisément $M=2N$ intervalles pour le calcul approché  des coefficients. On obtient ainsi les $2N$ coefficients de Fourier approchés:
$$
c_{2N}(n)=\frac{1}{2N}\sum_{k=0}^{2N-1}f\left(\frac{k}{2N}\right)e^{-2\pi i n \frac{k}{2N}}
$$
Cette construction permet  de retrouver précisément les valeurs de la fonction $f$ aux points  de la subdivision $t_k=\ds \frac{k}{2N}$ par l'égalité
$$
f\left(\frac{k}{2N}\right)=\sum_{k=-N}^{N}c_{2N}(n) e^{2\pi i n \frac{k}{2N}}
$$
 Nous allons d'abord le constater par expérience.
\begin{enumerate}
  \item Soit une fonction
   $$
   f(x)=x(1-x)
   $$
    sur l'intervalle $[0,1]$. On utilisera la commande \verb"dft" de scilab pour calculer les coefficients de Fourier.

    \begin{verbatim}

fGraph=zeros(1,2*N+1);
for k=1:2*N+1
  fGraph(k)=f(t(k));
end
xset("window", 2);
plot2d(t,fGraph);// représentation graphique de la fonction

Cn=dft(fGraph,-1)// transformée de Fourier discrete

xset("window", 3);
plot2d(0:2*N,abs(Cn));// représentation graphique des coefficients de Fourier

fn=dft(Cn,1)// transformée de Fourier discrete inverse



xset("window", 4);
plot2d(t,fn);// représentation graphique des coefficients de Fourier

\end{verbatim}

  \item  On rappelle ici la propriété importante des coefficients de Fourier d'une fonction  de classe $C^p$. Il existe une constante $C$ telle que  pour tout $n\in\Z$
      $$
      |c(n)|\le\frac{C}{|n|^p}
      $$

      On dispose  d'un enregistrement numérique  d'un signal comportant $2*N+1$ échantillons. Comment peut on approcher ce signal par un autre qui prend moins de place (moins d'échantillons) en utilisant la propriété ci-dessus?
   \item Peut on supprimer des coefficients négligeables, dont la valeur absolue est inférieure à un seuil donné, $\varepsilon$? Si oui, peut on estimer l'erreur d'approximation?

       \item On souhaite faire une compression de $P\%$.
       \begin{enumerate}
         \item Combien de coefficients de Fourier doit on retenir?
         \item Comment choisir les coefficients à retenir? Est ce qu'il est mieux de prendre les premiers dans l'ordre de numérotation ou les plus grands?
       \end{enumerate}

       \item utilisez les programmes scilab  fournis (sur AREL) pour vérifier vos réponses.

\end{enumerate}

\end{exo}


\subsection{Equation de propagation de la chaleur}

\begin{exo}
  Soit l'équation aux dérivées partielles
  $$
  \frac{\partial u}{\partial t}= \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}
  $$
  On cherche  une fonction $u(x,t)$, définie sur l'ensemble $[0,1]\times \R_+$, deux fois continûment dérivable selon $x$ et une fois continûment dérivable selon $t$
  qui vérifie cette équation et les \textbf{conditions aux limites}
  $$
  u(0,t)=u(1,t)=0
  $$
  \textbf{et la condition initiale}
  $$
  u(x,0)=g(x)
  $$
   où $g(x)\in C^2[0,1],\ \ g(0)=g(1)=0$.

   \begin{enumerate}
     \item Montrez que pour tout $n\in\N^\ast$ les fonctions
     $$
     u_n(x,t)=e^{-n^2\pi^2 t}\sin(n\pi x)
     $$
     vérifient l'équation ci-dessous  et les \textbf{conditions aux limites} :
      $$u_n(0,t)=u_n(1,t)=0,\ \ \forall t\in\R_+
      $$.
     \item Montrer que toute combinaison linéaire des fonctions $u_n(x,t)$  de type
     $$
     s_N(x,t)=\sum_{n=1}^N \alpha_n e^{-n^2\pi^2 t}\sin(n\pi x)
     $$
     vérifie la même équation et les mêmes conditions aux limites.
     \item Supposons  que $g(x)$ est une fonction continue telle que   $
      g(0)=g(1)=0
      $.       Est-il possible de trouver un $N$ et des coefficients $\alpha_n$ pour que la condition initiale soit également satisfaite: $S_N(x,0)=g(x)$?

     \item Pour une fonction $g(x)$ quelconque, est il possible de trouver la solution de l'équation qui vérifie les conditions aux limites et initiale  sous forme d'une série? Si oui, comment déterminer les coefficients $\alpha_n$?

         \item Expérimentez votre solution pour
         $$
         g(x)=x(1-x)
         $$

   \end{enumerate}
\end{exo}


\section{Séance 6. Représentation graphique d'une fonction définie par une série de Fourier}

\bigskip


Cette   séance est consacrée à un travail autonome en classe. \textbf{La présence à cette séance  est obligatoire. }
 On vous propose de résoudre un problème énoncé ci-dessous. A la fin de la séance de travail  vous devez déposer sur AREL un résumé de 1-3 pages  de vos résultats.
 Voici quelques recommandations pour la rédaction de ce document.
 \begin{itemize}
   \item Vous  devez y exposer votre analyse du problème  et la solution  que  vous avez imaginée.
   \item Il est fondamental que toute affirmation de votre part soit justifiée et argumentée avec la plus grande  rigueur mathématique. C'est le points essentiel  qui sera jugé.
   \item Si des résultats numériques ont été obtenus dans votre étude  consacrez quelques lignes à leur analyse. Sont ils, selon vous, conformes aux attentes?
   \item Décrivez la manière dont vous avez procédé pour trouver la solution, les sources documentaires que  vous avez consultées (livres, notes de cours, web)
   \item Il n'est pas interdit de débattre de vos idées avec vos camarades de classe, mais votre rédaction doit rester strictement personnelle!
 \end{itemize}

\begin{exo}
   Vous avez obtenu la solution de l'équation de propagation $u(x,t)$ de la chaleur sous forme de série de Fourier. c'est une fonction de deux variables réelles. Cette équation décrit l'évolution de la température dans une barre linéaire, de longueur $1$ que l'on suppose isolée et dont les extrémités sont maintenues à température constante , nulle. Cette dernière condition correspond aux conditions aux limites associées à notre équation:
    $$
    u(0,t)=u(1,t)=0,\ forall t>0
    $$
    On suppose également que l'on connaît la répartition de la température à l'instant $t=0$. c'est la donnée de la condition initiale
    $$
    u(x,0)=g(x)=x(1-x)
    $$
    Ainsi la fonction $u(x,t)$ solution de l'équation fournit la température dans chaque point $x\in[0,1]$ de la barre  à tout instant de temps $t$.

    \begin{enumerate}
      \item Ecrivez une fonction scilab qui calcule la température de la barre pour un $x$ et un $t$ quelconques. Vous utiliserez un paramètre supplémentaire, $\varepsilon$ pour indiquer la précision de calcul voulue. Le prototypage de la fonction doit être le suivant:
          \begin{verbatim}
            function u=temp(x,t,epsilon)
                        ...
                        endfunction
          \end{verbatim}

      \item  Utilisez la fonction créée précédemment pour construire sa représentation graphique sur le domaine
      $
     D= [0,1]\times [0,T]
     $
     où $T$ peut prendre des valeurs $1$, $2$, $10$, $15$.
     Pour créer les subdivisions des intervalles concernés vous utiliserez les pas $dx=0.01, \ dt=0.01$.


       \item \textbf{\textsc{Important!}} Votre rapport doit reprendre dès le début toute la résolution de l'équation à partir des éléments  faits en classe. En conclusion, joignez la représentation graphique de la solution en 3D (\textsl{vous pouvez enregistrer les graphiques scilab en png à partir du menu Fichier de la fenêtre graphique, en choisissant "exporter" et en précisant le format PNG);} Ajoutez également quelques exemples  de calcul des températures à des instants différents de temps.
    \end{enumerate}
\end{exo}
\end{document}