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\begin{document}
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\title{   \begin{large} EISTI \textsc{Département Mathématiques} \hfill  Année scolaire: 2009-2010 \end{large}\\ \vskip 0.2cm \hrule \vskip 1cm  \textbf{\textsc{Modélisation mathématique}} \\  \vskip 0.2cm \hrule \vskip 0.5cm \textbf{Séances 7-8}\\ \vskip 0.2cm  \textbf{\textsc{Thème: }}Analyse dans $\R^n$}

 \maketitle



\tableofcontents



 \section{ Introduction }


\bigskip

Ces  deux séances seront consacrées à l'étude de fonctions réelles  de plusieurs variables et leurs applications

 \bigskip


\section{Séance 7}

\bigskip



 \subsection{Dérives et analyse  d'erreurs}


 Les fonctions réelles, d'une ou plusieurs variables, sont utilisées pour représenter des relations entre plusieurs quantités. Par exemple, on exprime l'aire d'une rectangle  $S$ en fonction des longueurs de ses cotés :$S=a\cdot b$, ou le volume d'un cône $V=\ds\frac{1}{3}\pi r^2\cdot h$  en fonction de sa hauteur et  du rayon de sa base. Dans certains cas, on peut trouver une expression directe donnant  une quantité en fonction d'une ou plusieurs autres. C'est le cas dans les exemples géométriques cités ci-dessus. Il s'agit alors d'une définition explicite.  Parfois, on définit une fonction par une relation, une équation qu'elle doit vérifier. Par exemple,   relation entre les coordonnées $x$ et $y$ d'un point de cercle  de rayon $1$ centré en zéro se décrit par l'équation
$$
x^2+y^2=1
$$
 Il s'agit alors d'une définition implicite.
 
 \bigskip
 
 Nous allons étudier ici la question de sensibilité d'une quantité par rapport aux différentes valeurs qui la déterminent. Il arrive en effet très souvent dans les applications que certaines valeurs sont connues avec des erreurs. Il peut s'agir par exemple d'erreurs de mesure. Si on utilise ces données erronées pour évaluer d'autres grandeurs à travers des fonctions, explicites ou implicites, comment estimer l'impact de ces incertitudes?  Par exemple,  si les cotés d'un rectangle sont mesurés avec un appareil dont la marge d'erreur est de 1m, quelle est la marge d'erreur sur l'aire calculée? 

\begin{exo}
  \textbf{Comment évaluer l'incertitude? Cas simple}
\begin{enumerate}
  \item Considérons d'abord un cas simple: une fonction réelle d'une variable réelle: 
  $$
  y=f(x)$$.
  Supposons que la mesure de $x_0$ est entachée d'une erreur de $\Delta x$. On souhaite évaluer
  $$
  \Delta f=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)
  $$
  Donner une approximation d'ordre 1 en $\Delta x$ en utilisant la première dérivée de $f$. 
  \item On appelle erreur relative le rapport de l'erreur  sur la quantité mesurée:
  $$
  \delta x=\frac{\Delta x}{x},\ \  \delta f=\frac{\Delta f}{f}
  $$
  Exprimer l'erreur relative sur $f$ en utilisant la dérivée de $\ln|f|$.
  \item Evaluer l'erreur de calcul d'aire de disque de rayon $r$ quand $r=r_0=2m$ avec $\Delta r=0.1m$.
\end{enumerate}
 
\end{exo}

\bigskip

\begin{exo}
 \textbf{Comment évaluer l'incertitude? Fonctions de plusieurs variables}
 \begin{enumerate}
  \item Considérons   une fonction réelle de deux variables réelles:
  $$
  z=f(x,y)$$.
  Supposons que la mesure de $x_0$ est entachée d'une erreur de $\Delta x$ et que la mesure de $y_0$ est entachée d'une erreur de $\Delta y$. On souhaite évaluer
  $$
  \Delta f=f(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)
  $$
  Donner une approximation d'ordre 1 en $\Delta x,\ \Delta y$ en utilisant les premières dérivées partielles de $f$.
  \item 
  Exprimer l'erreur relative sur $f$ en utilisant les dérivées partielles de $\ln|f|$.
   
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}
 \textbf{Estimation d'erreur de position}
 
 On se trouve à bord d'un véhicule qui se déplace en ligne droite. On suppose que l'on connaît la position initiale, $x_0$ et la vitesse initiale $v_0$. 
 On dispose à bord d'un appareil de mesure d'accélération, un accéléromètre, qui effectue des mesures 10 fois par seconde. On supposera qu'entre deux mesures consécutives l'accélération reste constante.
 \begin{enumerate}
  \item  \textbf{Première mesure.}   A l'instant $t=t_1=1/10 s$ on mesure l'accélération $a_1 m/s^2$. Exprimer la vitesse $v_1$ et la position $x_1$ en fonction de $ x_0$, $v_0$ et $a_1$. 
  \item  On suppose que la position initiale est connue avec une erreur $\Delta x_0=1m$, la vitesse initiale avec l'erreur $\Delta v_0=1m/s$ et que l'accéléromètre commet à chaque mesure une erreur de l'ordre de $\Delta a=1 m/s^2$. Estimer les erreurs $\Delta v_1$ et $\Delta x_1$.
      
      \item \textbf{Deuxième  mesure.} En reprenant le même raisonnement sur l'intervalle de temps $[t_1, t_2]$ avec $t_1=1/10 s$ et $t_2=2/10 s$ estimer les erreurs $\Delta v_2$ et $\Delta x_2$.
          \item \textbf{En général.} Etablir une relation de récurrence pour $\Delta v_n$ et $\Delta x_n$ en utilisant la modélisation sur l'intervalle $[t_n, t_{n+1}]$. Montrer que l'erreur sur la vitesse grandit de façon linéaire en temps  ( en $n$) et que l'erreur de position est croissante comme $n^2$.
          
   
\end{enumerate}
\end{exo}


\bigskip

\subsection{Distances dans $\R^n$.}

\bigskip

\begin{exo}
  \begin{enumerate}
    \item Quel est dans le plan le plus court chemin entre deux points donnés? 
    \item   Trouvez le plus court chemin entre le point $A(1,1)$ et le carré de coté $1$ centré en $B(3,3)$.
    \item Trouvez le plus court chemin entre le point $A(1,1)$ et le disque de rayon $1$ centré en $C(-1,4)$.
    \item  Le point de départ  est $A(1,3)$. Le point d'arrivée doit se situer sur le demi-disque supérieur du cercle unité centrée en $O(0,0)$. Sur le chemin on doit toucher la droite $x=3$ en un point. Trouver le plus court chemin. 
        \item  \textbf{La course dans tous les sens.} Le point de départ  est l'origine $A(1,1)$.  On doit parcourir en ligne droite la distance $D$. Le score final est la somme des valeurs absolues de vos coordonnées. Trouver la meilleure direction, celle qui maximise le score. \textbf{Indication.} \textit{Cherchez d'abord une solution géométrique!}
  \end{enumerate}
\end{exo}

 

\section{Séance 6. Application pratique d'optimisation  et étude des sensibilités}

\bigskip


Cette   séance est consacrée à un travail autonome en classe. \textbf{La présence à cette séance  est obligatoire. }
 On vous propose de résoudre un problème énoncé ci-dessous. A la fin de la séance de travail  vous devez déposer sur AREL un résumé de 1-3 pages  de vos résultats.
 Voici quelques recommandations pour la rédaction de ce document.
 \begin{itemize}
   \item Vous  devez y exposer votre analyse du problème  et la solution  que  vous avez imaginée.
   \item Il est fondamental que toute affirmation de votre part soit justifiée et argumentée avec la plus grande  rigueur mathématique. C'est le points essentiel  qui sera jugé.
   \item Si des résultats numériques ont été obtenus dans votre étude  consacrez quelques lignes à leur analyse. Sont ils, selon vous, conformes aux attentes?
   \item Décrivez la manière dont vous avez procédé pour trouver la solution, les sources documentaires que  vous avez consultées (livres, notes de cours, web)
   \item Il n'est pas interdit de débattre de vos idées avec vos camarades de classe, mais votre rédaction doit rester strictement personnelle!
 \end{itemize}

\begin{exo}
    Un fabricant de boîtes de conserves  cherche  à minimiser les quantités de  matériaux nécessaires pour fabriquer des boîtes de volume donné, $V$. L'objectif de ce problème est de trouver des formes optimales.
    
    
     \begin{description}
       \item[Boîtes cylindriques] Supposons qu'il s'agit de fabriquer des boîtes cylindriques de rayon $r$,  de hauteur $h$ et de volume donné $V$.
        
        \begin{enumerate}
          \item  Les couvercles ronds des boîtes sont découpés dans des carrés de coté $2r$. Exprimer la surface totale $S_1$ de métal (pertes incluses) utilisée pour une boîte.
          \item Puisque le volume doit être constant, $V$, exprimer la surface en fonction d'un seul paramètre, $r$. Puis trouver la valeur   $r_0$ qui minimise $S_1$. 
          \item  En remplaçant $V$ par son expression  en fonction de $h$ et de $r$ trouver le rapport $t_0=\ds \frac{r_0}{h_0}$  de rayon et de hauteur de boîte optimal.
              
              \item Pour faire plus d'économies de métal, on décide de découper les couvercles non pas dans  des carrés mais dans des hexagones. Expliquer pourquoi, à rayon de cercle égal, les pertes seront moindres que si on découpait dans des carrés.
          \item Calculer la surface totale $S_2$ utilisée pour fabriquer une boîte et trouver, comme dans le cas précédent, la valeur  de rapport 
         $t_1=\ds \frac{r_1}{h_1}$ qui minimise la quantité de métal utilisée. 
            
        \end{enumerate}
       
       \item[Calibrage]   \textcolor[rgb]{1.00,0.00,0.00}{\textbf{Attention! Dans cette partie il faut absolument prendre en compte des unités de mesure dans les calculs!}}
        \begin{enumerate}
          \item Un client a commandé  des boîtes cylindriques  de volume $V=125 ml$. De quelle hauteur  $h$ et quel rayon $r$  ( en centimètres) seront alors les boîtes  aux proportions optimales (qui minimisent la quantité de métal utilisée)?
           \item Le client exige que le volume de boîte soit garanti avec une précision de $\Delta V= 0.1 ml$. Les machines qui découpent les pièces dans le métal sont réglées de façon à garantir la précision de $\Delta r=1 mm$ sur le rayon d'un disque et de $\Delta h=1 mm$ sur la hauteur. Estimer l'erreur de volume que cela entraîne. Est ce que ces réglages sont conformes aux exigences du client?

          \item  Proposez des réglages de précision de découpe pour le rayon et la hauteur pour que les exigences de précision sur le volume soient respectées.
          
          \item Les imprécisions des découpes posent un autre problème technique. Avec les derniers réglages  que vous proposez, est il possible qu'une boîte ne puisse pas être assemblée à partir des pièces découpées? Justifiez votre réponse. 
        \end{enumerate}
        
        
        
       
     \end{description}
\end{exo}
\end{document}
