\documentclass[11pt]{article} \usepackage[centertags]{amsmath} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amssymb} \usepackage{amsthm} \usepackage{newlfont} \usepackage[french]{babel} %\usepackage[notref]{showkeys} \usepackage{floatflt,wrapfig,subfigure} \usepackage[dvips]{graphics} \usepackage{epsfig} %\usepackage{minitoc} \usepackage{times} \pagestyle{empty} \usepackage{t1enc} % encodage pour les fontes EC (au lieu de CMR) permettant % des césures correctes pour les mots accentués \usepackage[latin1]{inputenc} % Document avec accents format windows, la ligne précédente % n'est pas nécessaire si on utilise \`a pour à, etc. \usepackage{fancybox} \usepackage{xspace,colortbl} % %\pagestyle{fancy} % \addtolength{\headwidth}{\oddsidemargin} %\addtolength{\headwidth}{\evensidemargin} % %%\renewcommand{\chaptermark}[1]{\markboth{\large #1}{}} %%\renewcommand{\sectionmark}[1]{\markright{ \ #1}} %\fancyhf{} % \fancyhead[LE]{\bfseries\ \small EISTI Département Mathématiques } % \fancyhead[RO]{\bfseries \small EISTI Département Mathématiques } %\fancyhead[RE]{ \small \thepage} % \fancyhead[LO]{\small \thepage } % %\fancypagestyle{plain}{% % % \fancyhead{} % get rid of headers % % \renewcommand{\headrulewidth}{0pt} % % % and the line % % } \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\norm}[1]{\left\Vert#1\right\Vert} \newcommand{\essnorm}[1]{\norm{#1}_{\text{\rm\normalshape ess}}} \newcommand{\abs}[1]{\left\vert#1\right\vert} \newcommand{\set}[1]{\left\{#1\right\}} \newcommand{\seq}[1]{\left<#1\right>} \newcommand{\eps}{\varepsilon} \newcommand{\To}{\longrightarrow} \newcommand{\RE}{\operatorname{Re}} \newcommand{\IM}{\operatorname{Im}} \newcommand{\Poly}{{\cal{P}}(E)} \newcommand{\EssD}{{\cal{D}}} % THEOREMS --------------------------------------------------------------- \theoremstyle{plain} \newtheorem{thm}{ \bf Théorème}[section] \newtheorem{cor}[thm]{Corollaire} \newtheorem{lem}[thm]{Lemme} \newtheorem{prop}[thm]{Proposition} % \theoremstyle{definition} \newtheorem{defn}{Définition}[section] \newtheorem{exo}{Problème} % \theoremstyle{remark} \newtheorem{rem}{ \bf Remarque}[section] \newtheorem{exem}{\bf Exemple}[section] % \numberwithin{equation}{section} \renewcommand{\thesection}{\arabic{section}} \renewcommand{\theequation}{\thesection.\arabic{equation}} \renewcommand{\textfraction}{0.05} \renewcommand{\topfraction}{0.95} \renewcommand{\bottomfraction}{0.95} \renewcommand{\floatpagefraction}{0.35} \setcounter{topnumber}{3} \setcounter{bottomnumber}{2} \setcounter{totalnumber}{5} \newenvironment{sol}[1][]{ \bigskip \hrule\bigskip \textbf{Solution de l'exercice \ref{#1} } \begin{quote} }{\bigskip \hrule\bigskip\end{quote}} \def\ii{^{-1}} \def\l{\lambda} \def\la{\langle} \def\ra{\rangle} \def\gm{\gamma} \def\ck{\mathcal{K}} \def\al{\alpha} \def\fn{f^{(n)}} \def\sg{\Sigma} \def\sp{\sigma} \def\N{\mathbb{N}} \def\Z{\mathbb{Z}} \def\card{\mbox{Card}} \def\tq{\mbox{t.q.}} \def\Q{\mathbb{Q}} \def\ve{\varepsilon} \def\dl{\delta} \def\cj{\cal{J}} \def\L{{\cal L}} \def\beq{\begin{equation}} \def\Or{{\cal O}} \def\ds{\displaystyle} \def\co{\cal{O}} \def\enq{\end{equation}} \def\argth{\mbox{argtanh}} \def\argsinh{\mbox{argsinh}} \def\argcosh{\mbox{argcosh}} \def\C{\mathbb{C}} %%% ---------------------------------------------------------------------- %%% ---------------------------------------------------------------------- \textwidth 16.5cm \textheight 21cm \evensidemargin = 0.5 cm \oddsidemargin = 0.5 cm \topmargin=-1 cm \begin{document} \pagenumbering{arabic} \pagestyle{plain} \title{ \begin{large} EISTI \textsc{Département Mathématiques} \hfill Année scolaire: 2009-2010 \end{large}\\ \vskip 0.2cm \hrule \vskip 1cm \textbf{\textsc{Modélisation mathématique}} \\ \vskip 0.2cm \hrule \vskip 0.5cm \textbf{Séances 9-10}\\ \vskip 0.2cm \textbf{\textsc{Thème: }} Systèmes dynamiques discrets dans $\R^2$} \maketitle \tableofcontents \section{ Introduction } \bigskip Cette séance sera consacrée à l'étude de systèmes dynamiques discrets dans le plan. \bigskip \section{Séance 9} \bigskip \bigskip \begin{defn} \label{sdd} Soit $D\in \R^m$ un ensemble et $f\ : D \rightarrow D $ une fonction continue et dérivable. On appelle " SDD d'ordre 1 en dimension m la récurrente suivante: $$ x(0)=x_0\in D, \ x(n+1)=f(x(n)),\ \ n\ge 0 $$ On utilisera souvent la notation $(f,D)$ pour désigner le système dynamique défini par une fonction $f$ sur l'ensemble $D$. \end{defn} \begin{defn}\label{orbite} Étant donné le point initial $x_0$, on appelle \textbf{ orbite ( ou trajectoire )} du système ( \ref{1.1} ) la suite $$ \mathcal{O}(x_0)=\{x(0)=x_0, \ x(1)=f(x(0)), \ \dots, \ x(n+1)=f(x(n)), \ \dots \} $$ \end{defn} \begin{defn}\label{PointFixe} On appelle "point fixe " d'un système dynamique tout point $x_s$ tel que $$ x_s=F(x_s) $$ Parfois, ces points sont appelés aussi {\bf points stationnaires} ou {\bf points d'équilibre}. \end{defn} \begin{defn}\label{or.per} Une orbite $\mathcal{O}(x_0)$ s'appelle \textbf{ périodique } s'il existe un $p>0$ t.q. \begin{equation}\label{1.4} x(n+p)=x(n) ,\ \forall n \end{equation} Une orbite périodique $ \mathcal{O}(x_0)$ est toujours une suite de points périodique. Tous ces points s'appellent \textbf{ point périodique de période} $p$ du système. \end{defn} \begin{exo} \textbf{Etude avec Scilab.} On peut représenter globalement les propriétés d'un système dynamique à l'aide d'un portrait de phase. Un système dynamique discret de dimension 2 est décrit par deux équations: \begin{eqnarray} x_1(n+1)=f_1(x_1(n),x_2(n)) \nonumber \\ x_2(n+1)=f_2(x_1(n),x_2(n)) \nonumber \end{eqnarray} Pour tracer le portrait de phases d'un système dynamique défini par l'application $\vec{f} \ : \ \R^2 \to \R^2$ $$ \vec{f}(x_1,x_2)=\left ( \begin{array}{c} f_1(x_1,x_2) \\ f_2(x_1,x_2) \end{array} \right ) $$ on choisit sur le plan une grille de points $(x_1,x_2)$ assez dense et l'on trace dans chaque point la direction du départ de l'orbite qui commence dans ce point. Cette direction pour un point initial $\vec{x}(0)=\ds \left (\begin{array}{c} x_1\\ x_2\end{array}\right )$ est définie par le vecteur $$ \vec{x}(1)-\vec{x}(0)=\vec{f}(\vec{x}(0))-\vec{x}(0) $$ Cela donne un aperçu de toutes les orbites possibles du système. Si l'on s'intéresse à une orbite particulière, on peut la retrouver sur le portrait de phases, en suivant les directions du champ de vecteurs tracées à partir du point initial de l'orbite en question. On peut observer à l'aide d'un portrait de phases les points fixes du système. Ce sont les points tels que $ \vec{f}(\vec{x})=\vec{x} $. Donc, le vecteur de direction du portrait de phases doit être nul dans un point fixe. Le comportement des orbites du système autour d'un point fixe est important. Le portrait de phases nous permet une première analyse qualitative de ce comportement. Sur un portrait de phases on peut également apercevoir des orbites périodiques, si le système en a. Dans ce cas, on peut distinguer des courbes closes formées par un groupe de vecteurs de directions. Nous allons tracer le portrait de phase des systèmes dynamiques avec les matrices suivantes $$ A= \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \\ \end{pmatrix},B= \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \\ \end{pmatrix},\ \ C= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0.5 \\ \end{pmatrix} $$ $$ D= \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \\ \end{pmatrix},\ E= \begin{pmatrix} 0.5 & 0 \\ 1 & 0.5 \\ \end{pmatrix},\ F= \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 0.5 \\ \end{pmatrix} $$ On utilisera le code fourni sur AREL. Il suffit d'exécuter le programme sous scilab. Il affiche les portraits de phase des systèmes définis par les matrices ci-dessus. Sur chaque plan sont tracés également quelques trajectoires. Pour chaque système, observez les lignes du champs de force et répondez aux questions suivantes \begin{enumerate} \item Pouvez vous repérer un ou plusieurs points fixes? \item Y a-t-il des orbites périodiques? \item Globalement, est ce que les orbites dy système convergent ou divergent? \item S'il y a convergence, quels sont les points limites? \end{enumerate} \end{exo} \begin{exo} Soit $A$ une matrice réelle $2\times 2$. Soit un système dynamique défini dans $\R^2$ par $$ x_{n+1}=Ax_n $$ \begin{enumerate} \item Comment peut on écrire le terme général d'une orbite, dont la condition initiale est connue, $x_0$? \item Poser l'équation que doivent vérifier les points fixes. Quel point est toujours un point fixe d'un système linéaire? \item Peut il y avoir d'autres points fixes? Si oui à quelle condition? Trouver le lien entre les points fixes et les vecteurs propres de la matrice $A$. \item A quelle condition il y a une orbite périodique de période $p$ donnée? \item Pour les matrices de l'exercice précédent trouver les points fixes et périodiques. \end{enumerate} \end{exo} \bigskip \begin{exo} \textbf{Etude de convergence} \begin{enumerate} \item Donner la définition à "$x_n$ converge" quand $x_n\in \R^2$. \item Si $x_n$ est défini par la récurrence $$ x_{n+1}=Ax_n $$ et si $x_n$ converge, que peut on dire de la limite? \item Trouver le lien entre la convergence et les valeurs propres de $A$. \item Soient $\l_1$ et $\l_2$ deux valeurs propres de $A$. \textbf{Supposons qu'elles sont distinctes et réelles}. Soit $\{v_1,v_2\}$ la base de vecteurs propres associés. Etudier ( en travaillant dans la base des vecteurs propres) la convergence dans les deux cas suivants. \begin{enumerate} \item $ |\l_1|<1$ et $ |\l_2|<1$. \item $ |\l_1|>1$ et $ |\l_2|>1$. \item $ |\l_1|<1$ et $ |\l_2|>1$. \item $ |\l_1|=1$ et $ |\l_2|<1$. \item $ |\l_1|=1$ et $ |\l_2|>1$. \end{enumerate} \item Revenir aux portrait de phase pour confirmer les résultats. \end{enumerate} \end{exo} \bigskip \section{Séance 10} \bigskip Cette séance est consacrée à un travail autonome en classe. \textbf{La présence à cette séance est obligatoire. } On vous propose de résoudre un problème énoncé ci-dessous. A la fin de la séance de travail vous devez déposer sur AREL un résumé de 1-3 pages de vos résultats. Voici quelques recommandations pour la rédaction de ce document. \begin{itemize} \item Vous devez y exposer votre analyse du problème et la solution que vous avez imaginée. \item Il est fondamental que toute affirmation de votre part soit justifiée et argumentée avec la plus grande rigueur mathématique. C'est le points essentiel qui sera jugé. \item Si des résultats numériques ont été obtenus dans votre étude consacrez quelques lignes à leur analyse. Sont ils, selon vous, conformes aux attentes? \item Décrivez la manière dont vous avez procédé pour trouver la solution, les sources documentaires que vous avez consultées (livres, notes de cours, web) \item Il n'est pas interdit de débattre de vos idées avec vos camarades de classe, mais votre rédaction doit rester strictement personnelle! \end{itemize} \begin{exo} Etude de propagation d'erreurs par un système dynamique discret. \begin{enumerate} \item Soit Un système linéaire $$ x_{n+1}=Ax_{n} $$ de matrice carrée $A:\ 2\times 2$. Soient $\l_1$ et $\l_2$ deux valeurs propres de $A$. \textbf{Supposons qu'elles sont distinctes et réelles}. Soit $\{v_1,v_2\}$ la base de vecteurs propres associés. Supposons que la condition initiale $x_0$ est connue avec une incertitude de $$ \Delta x=\begin{pmatrix} \Delta_1 \\ \Delta_2 \\ \end{pmatrix} $$ Quelle sera l'erreur sur $x_n$ après $n$ itérations? Faire une étude de cas comme dans le problème 3. \item Soit une application $$ f:\R^2\to \R^2 $$ et un système dynamique associé $$ x_{n+1}=f(x_{n}),\ x_0\in\R^2 $$ Si on connaît $x_n$ avec une erreur $\Delta x_n$. Trouver une expression pour l'erreur sur $x_{n+1}$ à partir du développement de Taylor d'ordre 1. \item Supposons que nous étudions deux espèces d'animaux $a$ et $b$ qui partagent des ressources de nourriture et un espace de vie. Notons par $a(n)$ la population de la première espèce et par $b(n)$ celle de la deuxième au moment du temps $n$. Rappelons que le modèle de croissance pour une espèce , disons, $a(n)$ en absence de la deuxième est décrit par le système dynamique suivant: $$ a(n+1)=a(n)+r(1-ca(n))\cdot a(n) $$ où $r$ est le coefficient de croissance sans contraintes et $1/c$ est la capacité de l'environnement (ou la valeur d'équilibre). Supposons que $c=1$. Alors nous avons l'équation $$ a(n+1)=a(n)+r(1-a(n))\cdot a(n) $$ Introduisons dans la considération les espèces $b$. Elles doivent partager avec les espèces $a$ les même ressources. Quel sera l'impact de ce partage sur la croissance de l'espèce $a$? Il est logique de supposer que les ressources qui sont à disposition des espèces $a$ vont diminuer d'une quantité proportionnelle au nombre d'espèces $b$, c'est-à-dire, de $c_b b(n)$. L'équation de croissance devient alors: $$ a(n+1)=a(n)+r(1-a(n)-c_b b(n))\cdot a(n) $$ De la même façon on trouve l'équation pour la population $b$: $$ b(n+1)=b(n)+s(1-b(n)-c_a a(n))\cdot b(n) $$ Nous avons ainsi un système dynamique en deux dimensions: \begin{eqnarray} a(n+1)=a(n)+r(1-a(n)-c_b b(n))\cdot a(n)\nonumber \\ b(n+1)=b(n)+s(1-a(n)-c_a a(n))\cdot b(n) \nonumber \end{eqnarray} qui après une simplification devient: \begin{eqnarray} a(n+1)=(1+r)a(n)-ra^2(n)-c_b r a(n) b(n)\nonumber \\ b(n+1)=(1+s)b(n)-sb^2(n)-c_a r a(n))\cdot b(n) \nonumber \end{eqnarray} Prenons un exemple numérique. Supposons que $r=s=0.3$ et $c_a=c_b=0.5$. Nous obtenons alors le système suivant: \begin{eqnarray} a(n+1)=1.3a(n)-0.3a^2(n)-0.15a(n)b(n) \nonumber \\ b(n+1)=1.3b(n)-0.3b^2(n)-0.15a(n)b(n) \nonumber \end{eqnarray} Supposons que la population initiale est de $(0.1, 0.3)$ et que l'erreur est de $(0.05,0.05)$. Quelle évaluer l'erreur sur les 4 premières itérations. \end{enumerate} \end{exo} \end{document}