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     % des césures correctes pour les mots accentués
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% THEOREMS ---------------------------------------------------------------
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\def\ii{^{-1}}
\def\l{\lambda}
\def\la{\langle}
\def\ra{\rangle}
\def\gm{\gamma}
\def\ck{\mathcal{K}}
\def\al{\alpha}
\def\fn{f^{(n)}}
\def\sg{\Sigma}
\def\sp{\sigma}
\def\N{\mathbb{N}}
\def\Z{\mathbb{Z}}
\def\card{\mbox{Card}}
\def\tq{\mbox{t.q.}}
\def\Q{\mathbb{Q}}

\def\ve{\varepsilon}
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\def\beq{\begin{equation}}
 \def\Or{{\cal O}}
\def\ds{\displaystyle}
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\def\argth{\mbox{argtanh}}
\def\argsinh{\mbox{argsinh}}
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\def\C{\mathbb{C}}
%%% ----------------------------------------------------------------------

%%% ----------------------------------------------------------------------
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\begin{document}
 \pagenumbering{arabic}

\pagestyle{plain}



\title{   \begin{large} EISTI \textsc{Département Mathématiques} \hfill  Année scolaire: 2009-2010 \end{large}\\ \vskip 0.2cm \hrule \vskip 1cm  \textbf{\textsc{Modélisation mathématique}} \\  \vskip 0.2cm \hrule \vskip 0.5cm \textbf{Séances 9-10}\\ \vskip 0.2cm  \textbf{\textsc{Thème: }} Systèmes dynamiques discrets dans $\R^2$}

 \maketitle



\tableofcontents



 \section{ Introduction }


\bigskip
Cette séance sera consacrée à l'étude de systèmes dynamiques discrets dans le plan.
 \bigskip


\section{Séance 9}

\bigskip


\bigskip  \begin{defn}
\label{sdd}
Soit $D\in \R^m$ un ensemble et  $f\  :  D   \rightarrow D $ une
fonction continue  et dérivable. On  appelle " SDD d'ordre 1 en
dimension m  la récurrente   suivante:
 $$
  x(0)=x_0\in D, \ x(n+1)=f(x(n)),\ \ n\ge 0
  $$
  On utilisera souvent la notation $(f,D)$ pour  désigner  le
  système dynamique défini par une fonction $f$ sur l'ensemble   $D$.
\end{defn}

\begin{defn}\label{orbite}
     Étant donné le point initial $x_0$, on appelle \textbf{ orbite  ( ou trajectoire )} du système   ( \ref{1.1}  ) la suite
   $$
   \mathcal{O}(x_0)=\{x(0)=x_0, \ x(1)=f(x(0)), \ \dots,  \ x(n+1)=f(x(n)), \ \dots      \}
   $$
  \end{defn}

  \begin{defn}\label{PointFixe}
  On appelle "point fixe " d'un système dynamique tout point $x_s$ tel que
  $$
  x_s=F(x_s)
  $$
  Parfois, ces points sont
   appelés aussi {\bf points stationnaires} ou {\bf points d'équilibre}.

   \end{defn}

\begin{defn}\label{or.per}
 Une orbite $\mathcal{O}(x_0)$  s'appelle \textbf{
 périodique } s'il
existe un  $p>0$ t.q.
 \begin{equation}\label{1.4}
 x(n+p)=x(n) ,\ \forall n
 \end{equation}

 Une  orbite périodique $ \mathcal{O}(x_0)$
 est toujours une  suite de points périodique. Tous ces points
 s'appellent
   \textbf{  point périodique de période} $p$  du système.
 \end{defn}




\begin{exo}
  \textbf{Etude avec Scilab.}

  On peut représenter globalement les propriétés d'un système dynamique à l'aide d'un portrait de phase.

    Un système dynamique discret de dimension 2 est décrit par deux équations:
    \begin{eqnarray}
    x_1(n+1)=f_1(x_1(n),x_2(n)) \nonumber \\
    x_2(n+1)=f_2(x_1(n),x_2(n)) \nonumber
    \end{eqnarray}



 Pour tracer  le portrait de phases d'un système  dynamique défini par l'application
   $\vec{f} \ : \ \R^2 \to \R^2$
    $$
   \vec{f}(x_1,x_2)=\left ( \begin{array}{c}
  f_1(x_1,x_2) \\
  f_2(x_1,x_2)
\end{array} \right )
$$
 on choisit sur le plan  une grille de   points $(x_1,x_2)$ assez dense
 et l'on trace dans chaque point  la direction du  départ de l'orbite qui commence dans ce point.
 Cette direction pour un point initial
  $\vec{x}(0)=\ds \left (\begin{array}{c} x_1\\ x_2\end{array}\right )$
 est définie par le vecteur
 $$
 \vec{x}(1)-\vec{x}(0)=\vec{f}(\vec{x}(0))-\vec{x}(0)
 $$
  Cela donne un aperçu  de toutes les orbites possibles du système.  Si l'on s'intéresse
 à une orbite particulière, on peut la retrouver sur le portrait de phases, en suivant
 les directions du champ de vecteurs tracées à partir du point initial de l'orbite en question.

 On peut   observer à l'aide d'un portrait de phases   les points fixes du système. Ce sont
  les points  tels que $ \vec{f}(\vec{x})=\vec{x} $. Donc,  le vecteur de direction
    du portrait de phases doit être nul dans un point fixe. Le comportement  des orbites du système
    autour d'un  point fixe  est important. Le portrait de phases nous permet   une première analyse qualitative
     de ce comportement.

     Sur un portrait de phases on peut également apercevoir
    des orbites périodiques, si le système en a. Dans ce cas, on peut distinguer des courbes
     closes formées par  un groupe de vecteurs de directions.

   Nous allons tracer le portrait de phase des systèmes dynamiques avec les matrices suivantes
  $$
  A= \begin{pmatrix}
    1 & -1 \\
    1 & 1 \\
  \end{pmatrix},B= \begin{pmatrix}
    0 & -1 \\
    1 & 0 \\
  \end{pmatrix},\ \ C= \begin{pmatrix}
    1 & 0 \\
    1 & 0.5 \\
  \end{pmatrix}
  $$
  $$
 D= \begin{pmatrix}
    3 & 1 \\
    1 & 3 \\
  \end{pmatrix},\  E= \begin{pmatrix}
    0.5 & 0 \\
    1 & 0.5 \\
  \end{pmatrix},\ F= \begin{pmatrix}
    2 & 0 \\
    1 & 0.5 \\
  \end{pmatrix}
  $$


  On utilisera le code  fourni sur AREL. Il suffit d'exécuter le programme  sous scilab.  Il affiche les portraits de phase des systèmes définis par les matrices ci-dessus. Sur chaque plan sont tracés également  quelques trajectoires. Pour chaque système, observez les lignes du champs de force  et répondez aux questions suivantes
  \begin{enumerate}
    \item Pouvez vous repérer un ou plusieurs points fixes?
    \item Y a-t-il des orbites périodiques?

    \item Globalement, est ce que les orbites dy système convergent  ou divergent?
    \item S'il y a convergence, quels sont les points limites?
  \end{enumerate}



\end{exo}


\begin{exo}
  Soit $A$ une matrice réelle $2\times 2$. Soit un système dynamique défini dans $\R^2$ par
  $$
  x_{n+1}=Ax_n
  $$
  \begin{enumerate}
    \item Comment peut on écrire le terme général d'une orbite, dont la condition initiale est connue, $x_0$?
    \item Poser l'équation que doivent vérifier les points fixes. Quel point est toujours un point fixe d'un système linéaire?
    \item Peut il y avoir d'autres points fixes? Si oui à quelle condition? Trouver le lien  entre les points fixes et les vecteurs propres de la matrice $A$.
    \item A quelle condition il y a une orbite périodique de période $p$ donnée?
     \item Pour les matrices de l'exercice précédent trouver les points fixes  et périodiques.
  \end{enumerate}
\end{exo}

\bigskip


\begin{exo} \textbf{Etude de convergence}
  \begin{enumerate}
    \item Donner la définition à "$x_n$ converge" quand $x_n\in \R^2$.
    \item Si $x_n$ est défini par la récurrence
    $$
    x_{n+1}=Ax_n
    $$
    et si $x_n$ converge, que peut on dire de la limite?
    \item Trouver le lien entre la convergence et les valeurs propres de $A$.
    \item Soient $\l_1$ et $\l_2$  deux valeurs propres de $A$. \textbf{Supposons qu'elles sont distinctes et réelles}. Soit $\{v_1,v_2\}$ la base de vecteurs propres associés.  Etudier ( en travaillant dans la base des vecteurs propres)  la convergence dans les deux cas suivants.
    \begin{enumerate}
      \item $ |\l_1|<1$ et $ |\l_2|<1$.
      \item  $ |\l_1|>1$ et $ |\l_2|>1$.
      \item $ |\l_1|<1$ et $ |\l_2|>1$.
      \item $ |\l_1|=1$ et $ |\l_2|<1$.
      \item $ |\l_1|=1$ et $ |\l_2|>1$.
    \end{enumerate}
    \item Revenir aux portrait de phase pour confirmer les résultats.
  \end{enumerate}
\end{exo}

\bigskip

\section{Séance 10}

\bigskip

Cette   séance est consacrée à un travail autonome en classe. \textbf{La présence à cette séance  est obligatoire. }
 On vous propose de résoudre un problème énoncé ci-dessous. A la fin de la séance de travail  vous devez déposer sur AREL un résumé de 1-3 pages  de vos résultats.
 Voici quelques recommandations pour la rédaction de ce document.
 \begin{itemize}
   \item Vous  devez y exposer votre analyse du problème  et la solution  que  vous avez imaginée.
   \item Il est fondamental que toute affirmation de votre part soit justifiée et argumentée avec la plus grande  rigueur mathématique. C'est le points essentiel  qui sera jugé.
   \item Si des résultats numériques ont été obtenus dans votre étude  consacrez quelques lignes à leur analyse. Sont ils, selon vous, conformes aux attentes?
   \item Décrivez la manière dont vous avez procédé pour trouver la solution, les sources documentaires que  vous avez consultées (livres, notes de cours, web)
   \item Il n'est pas interdit de débattre de vos idées avec vos camarades de classe, mais votre rédaction doit rester strictement personnelle!
 \end{itemize}

\begin{exo}
  Etude de propagation d'erreurs par un système dynamique discret.
  
  \begin{enumerate}
    \item Soit Un système linéaire
    $$
    x_{n+1}=Ax_{n}
    $$
     de matrice carrée $A:\ 2\times 2$. Soient $\l_1$ et $\l_2$  deux valeurs propres de $A$. \textbf{Supposons qu'elles sont distinctes et réelles}. Soit $\{v_1,v_2\}$ la base de vecteurs propres associés.   Supposons que la condition initiale $x_0$ est connue avec une incertitude de 
     $$
     \Delta x=\begin{pmatrix}
                \Delta_1 \\
                \Delta_2 \\
              \end{pmatrix}
              $$
              Quelle sera  l'erreur  sur $x_n$ après $n$ itérations? Faire une étude de cas  comme dans le problème 3. 
    \item Soit une application
    $$
    f:\R^2\to \R^2
    $$
     et un système dynamique associé
    
      $$
    x_{n+1}=f(x_{n}),\ x_0\in\R^2
    $$
    Si on connaît $x_n$ avec une erreur $\Delta x_n$. Trouver une expression pour l'erreur sur $x_{n+1}$ à partir du développement de Taylor d'ordre 1. 
     

 \item Supposons que nous étudions deux espèces d'animaux $a$ et $b$ qui  partagent des ressources de nourriture et un espace de
 vie.  Notons par $a(n)$ la population de la première espèce et par $b(n)$ celle de la deuxième au moment du temps $n$.
  Rappelons que le modèle de croissance pour une espèce , disons, $a(n)$ en absence
  de la deuxième est décrit par le système dynamique suivant:
  $$
  a(n+1)=a(n)+r(1-ca(n))\cdot a(n)
  $$
  où $r$ est le coefficient de croissance sans contraintes et $1/c$ est    la capacité de l'environnement (ou la
  valeur d'équilibre). Supposons que $c=1$. Alors nous avons l'équation
  $$
   a(n+1)=a(n)+r(1-a(n))\cdot a(n)
  $$
  Introduisons dans la considération les espèces $b$. Elles doivent partager avec les espèces $a$ les même
  ressources. Quel sera l'impact de ce partage sur la croissance de l'espèce $a$? Il est logique de supposer que
  les ressources  qui sont à disposition des espèces $a$ vont diminuer d'une quantité proportionnelle   au nombre
  d'espèces $b$, c'est-à-dire, de $c_b b(n)$. L'équation de croissance devient alors:
  $$
   a(n+1)=a(n)+r(1-a(n)-c_b b(n))\cdot a(n)
  $$
  De la même façon on trouve l'équation pour la population $b$:
  $$
  b(n+1)=b(n)+s(1-b(n)-c_a a(n))\cdot b(n)
  $$

  Nous avons ainsi un système dynamique en deux dimensions:
  \begin{eqnarray}
   a(n+1)=a(n)+r(1-a(n)-c_b b(n))\cdot a(n)\nonumber \\
    b(n+1)=b(n)+s(1-a(n)-c_a a(n))\cdot b(n)   \nonumber
  \end{eqnarray}

  qui après une simplification devient:

    \begin{eqnarray}
   a(n+1)=(1+r)a(n)-ra^2(n)-c_b r a(n) b(n)\nonumber \\
    b(n+1)=(1+s)b(n)-sb^2(n)-c_a  r a(n))\cdot b(n)   \nonumber
  \end{eqnarray}

  Prenons un exemple numérique.  Supposons que $r=s=0.3$ et
  $c_a=c_b=0.5$. Nous obtenons alors le système suivant:
   \begin{eqnarray}
   a(n+1)=1.3a(n)-0.3a^2(n)-0.15a(n)b(n) \nonumber \\
    b(n+1)=1.3b(n)-0.3b^2(n)-0.15a(n)b(n)    \nonumber
  \end{eqnarray}
    
    Supposons que la population initiale est  de $(0.1, 0.3)$ et que l'erreur est de $(0.05,0.05)$. Quelle  évaluer l'erreur sur les 4 premières itérations. 
  \end{enumerate}
\end{exo}

\end{document}
