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\title{\centering{ Analyse Num\'erique \\ TP 2 \\ M\'ethode des moindres carr\'es}}

\author{ \vspace{2cm} Groupe D : \vspace{0,5cm} \\LANZERAY Alexandre\\GIBERT Aur\'elien}

\location{Cergy}

\blurb{%
\'Ecole Internationale des Sciences du Traitement de l'Information\\
}%
\begin{document}
 \maketitle
    \tableofcontents
    
\vspace{2cm}

\begin{center}
\includegraphics[scale=0.3]{logoeisti.png}

\end{center}



\clearpage 













 \chapter{\textsc{ \Large \underline{PREMI\`ERE PARTIE}}}


\section{\underline{Question 1}}

\large
\subparagraph*{} L'objectif est de d\'eterminer par la m\'ethode des moindres carr\'es les coefficients de la combinaison lin\'eaire.

\subparagraph*{}On prend la matrice X qui prend en param\`etre le classement des \'equipes jouant dans le championnat de handball Pro D2 saison 2011. On y retire la colonne des matchs jou'es et celle des points. On represente par le vecteur Y, le nombre de points gagn\'es par chaques \'equipes au cours de la saison.


\begin{center}

Y=$\begin{pmatrix}
69\\
67\\
63\\
61\\
51\\
50\\
50\\
49\\
49\\
48\\
48\\
44\\
44\\
35\\
\end{pmatrix}$ et X=$\begin{pmatrix}
20&3&3&800&695&105\\
18&5&3&694&623&71\\
17&3&6&792&746&46\\
16&3&7&707&672&35\\
11&3&12&734&727&7\\
12&0&14&751&739&12\\
9&6&11&721&752&-31\\
10&3&13&702&733&-31\\
11&1&14&713&739&-26\\
10&2&14&724&750&-26\\
9&4&13&689&696&-7\\
9&0&17&705&713&-8\\
8&2&16&712&767&-55\\
3&3&20&699&791&-92
\end{pmatrix}$
\end{center}

\newpage
\subparagraph*{} En utilisant la fonction \textit{MethodeMoindreCarres(X,y)}, on obtient les coefficients de la combinaison lin\'eaire.

\begin{center}
a=$\begin{pmatrix}
3\\
2\\
1\\
2.967*10\up{-14}\\
2.933*10\up{-14}\\
2.946*10\up{-14}\\
\end{pmatrix}$
\end{center}


\subparagraph*{} En utilisant la fonction de Scilab \textit{residu(X,y,a)}, on obtient les r\'esidus recherch\'es.

\begin{center}
r=$\begin{pmatrix}
0.6679102*10\up{-12}\\
0.5826450*10\up{-12}\\
0.5684342*10\up{-12}\\
0.5471179*10\up{-12}\\
0.3552714*10\up{-12}\\
0.4689582*10\up{-12}\\
0.2060574*10\up{-12}\\
0.3197442*10\up{-12}\\
0.4050094*10\up{-12}\\
0.3410605*10\up{-12}\\
0.2771117*10\up{-12}\\
0.3694822*10\up{-12}\\
0.2771117*10\up{-12}\\
0.0710543*10\up{-12}
\end{pmatrix}$
\end{center}

\newpage
\subparagraph*{} Avec la fonction \textit{plot} de scilab on peut repr\'esenter l'allure des r\'esidus qui est ici totalement al\'eatoire :

\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{Graphique1.png}
\end{center}











\newpage

\section{\underline{Question 2}}

\subparagraph*{} Les coefficients tr\`es faibles repr\'esentent le bruit, donc on supprime les 3 derni\`eres colonnes et on obtient le nouveau X :

\begin{center}
X=$\begin{pmatrix}
20&3&3\\
18&5&3\\
17&3&6\\
16&3&7\\
11&3&12\\
12&0&14\\
9&6&11&\\
10&3&13\\
11&1&14\\
10&2&14\\
9&4&13\\
9&0&17\\
8&2&16\\
3&3&20
\end{pmatrix}$
\end{center}


On recalcul alors a avec la fonction \textit{MethodeMoindreCarres(X1,y)} :


\begin{center}
a=$\begin{pmatrix}
3\\
2\\
1
\end{pmatrix}$
\end{center}

\subparagraph*{}\`A pr\'esent les r\'esidus :

\begin{center}
r=$\begin{pmatrix}
0.2842171*10\up{-13}\\
0.1421085*10\up{-13}\\
0.2131628*10\up{-13}\\
0.2131628*10\up{-13}\\
0.1421085*10\up{-13}\\
0.2131628*10\up{-13}\\
0\\
0.0710543*10\up{-13}\\
0.2131628*10\up{-13}\\
0.1421085*10\up{-13}\\
0\\
0.1421085*10\up{-13}\\
0.0710543*10\up{-13}\\
0
\end{pmatrix}$
\end{center}

\subparagraph*{} Et enfin avec la fonction \textit{plot} de scilab on  repr\'esente l'allure des r\'esidus :


\begin{center}
\includegraphics[scale=0.9]{Graphique2.png}
\end{center}










\section{\underline{Question 3}}

\subparagraph*{} Apr\`es comparaison, on remarque que le deuxi\`eme graphe se situe en dessous du premier.  On obtient de meilleurs r\'esultats.





\newpage
\section{\underline{Question 4}}

\subparagraph*{}Nous allons d\`es \`a pr\`esent reproduire les moindres carr\'es de la question 1, en normalisant les valeurs des variables afin que l'intervalle de variation soit le m\^eme pour toutes les variables et \'eviter ainsi des distorsions \'eventuelles.

\subparagraph*{}Pour ce faire, nous allons utiliser la fonction \textit{FonctionNormalisation(X,100,1)} pour normaliser la matrice X.

\subparagraph*{} Ensuite nous utiliserons la fonction \textit{MethodeMoindreCarres(Xnorm,y)} pour obtenir enfin a :



\begin{center}
a=$\begin{pmatrix}
0.4675786\\
0.1044217\\
0.1241443\\
-0.1176247\\
0.1780265\\
0.2087573
\end{pmatrix}$
\end{center}






\newpage
\section{\underline{Question 5}}


\subparagraph*{} En utilisant la fonction \textit{residu(Xnorm,y,a)}, nous obtenons les r\'esidus de la question 4 :

\begin{center}
r=$\begin{pmatrix}
0.2842171*10\up{-13}\\
-0.1421085*10\up{-13}\\
0.4973799*10\up{-13}\\
0.1421085*10\up{-13}\\
0.4263256*10\up{-13}\\
0.3552714*10\up{-13}\\
0.7815970*10\up{-13}\\
0.4973799*10\up{-13}\\
0.4263256*10\up{-13}\\
0.5684342*10\up{-13}\\
0.3552714*10\up{-13}\\
0.2842171*10\up{-13}\\
0.6394885*10\up{-13}\\
0.9237056*10\up{-13}
\end{pmatrix}$
\end{center}


\subparagraph*{}Ce qui nous donne le graphique suivant :

\begin{center}
\includegraphics[scale=0.9]{Graphique3.png}
\end{center}

\subparagraph*{} Nous observons que les r\'esidus ainsi obtenus sont de puissance 10\up{-12} comparativement \`a 10\up{-13} obtenu \`a la question 1. La m\'ethode est ainsi jusitifi\'ee.





\newpage
\section{\underline{Question 6}}




\subparagraph*{} Dans cette question nous allons supprimer les bruits de la matrice et nous normaliserons cette derni\`ere.

\subparagraph*{} La fonction \textit{MethodeMoindreCarres(X1norm,y)}, nous affiche a :



\begin{center}
a=$\begin{pmatrix}
0.6093409\\
0.1544554\\
0.2659066
\end{pmatrix}$
\end{center}


\section{\underline{Question 7}}

\subparagraph*{} On affiche alors grace \`a la fonction \textit{residu(X1norm,y,a)}, les r\'esidus :

\begin{center}
r=$\begin{pmatrix}
-0.2842171*10\up{-13}\\
-0.2842171*10\up{-13}\\
-0.1421085*10\up{-13}\\
-0.1421085*10\up{-13}\\
0
0
0.0710543*10\up{-13}\\
0.0710543*10\up{-13}\\
0
0
0.0710543*10\up{-13}\\
0.1421085*10\up{-13}\\
0.1421085*10\up{-13}\\
0.2842171*10\up{-13}
\end{pmatrix}$
\end{center}

\newpage
\subparagraph*{}Sous forme Graphique :

\begin{center}
\includegraphics[scale=1.3]{Graphique4.png}
\end{center}

\subparagraph*{}On remarque ainsi que, contrairement \`a pr\'ec\'edemment, nous n'obtenons pas une meilleur pr\'ecision.

\clearpage 














 \chapter{\textsc{ \Large \underline{SECONDE PARTIE}}}
 
\section{\underline{Question 8}}

\subparagraph*{}On cherche \`a savoir si le nombre de points obtenus par chaque \'equipe est correct.

\subparagraph*{} Nous allons reprendre une m\'ethode similaire \`a celle vue dans la premi\`ere partie. Pour ce faire nous allons enlever le bruit de la matrice repr\'esentant les r\'esultats de la saison 2010 ( les 3 derni\`eres colonnes), nous retirerons aussi les deux premi\`eres.

\subparagraph*{}Nous reprendrons les coefficients du syst\`eme lin\'eaire de la partie une.

\begin{center}
X=$\begin{pmatrix}
20&1&5\\
19&2&5\\
17&1&8\\
14&3&9\\
13&4&9\\
14&2&10\\
11&3&12\\
10&3&13\\
8&3&11\\
10&0&16\\
7&4&15\\
7&4&15\\
7&3&16\\
6&3&17
\end{pmatrix}$
\end{center}


\newpage
\subparagraph*{}On obtient le vecteur des points gagn\'es en utilisant la fonction 
\\ \textit{Evaluation(X2,MethodeMoindreCarres(X1,y))} :


\begin{center}
y=$\begin{pmatrix}
67\\
66\\
61\\
57\\
56\\
56\\
51\\
49\\
41\\
46\\
44\\
44\\
43\\
41
\end{pmatrix}$
\end{center}

\subparagraph*{}Nous remarquons alors 3 divergences avec le tableau d'origine. 

\newpage
\section{\underline{Question 9}}


\begin{center}
y=$\begin{pmatrix}
67\\
66\\
61\\
57\\
56\\
56\\
51\\
49\\
41\\
46\\
44\\
44\\
43\\
41
\end{pmatrix}$
\end{center}

\subparagraph*{}Nous redonnons la valeur exacte du nombre de point par \'equipe obtenu pr\'ec\'edemment (Question 8). Ces valeurs ont \'et\'e obtenues en utilisant les coefficients de la combinaison lin\'eaire obtenues pour la saison 2011.

\clearpage




\end{document}