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<\section{Introduction}

L'objectif de ce TP est l'application de la m\'ethode des moindres carr\'es \`a la pr\'evision des valeurs des s\'eries chronologiques.\\
Une \textit{s\'erie chronologique} (on dit aussi \textit{s\'erie temporelle}) est une suite des valeurs num\'eriques (dans notre cas r\'eelles), indic\'ee par le temps \textit{t}
\begin{center}
\begin{equation}
$$y(0), y(1), ..., y(t), ...$$
\end{equation}
\end{center}

Ces valeurs repr\'esentent l'\'evolution au cours du temps d'un ph\'eno\`emne dont l'\'etude nous int\'eresse soit parce que nous voulons expliqer son comportement, soit parce que nous voulons pr\'evoir son comportement. Les domaines d'applications sont extr\^emement vari\'es. Citons, \`a titre d'exemple, m\'edecine, biologie, \'epid\'emiologie, traitement de donn\'ees, m\'etrologie, assurance, \'econom\'etrie, finance, traitement du signal, science de la Terre, etc.\\
En r\`egle g\'en\'erale, la pr\'evision $\widehat{y}(t)$ de la valeur $y(t)$ \`a l'instant $t$ se fait en se r\'ef\'erant aux valeurs ant\'erieures de $y$ suivant un mod\`ele. Si le mod\`ele est lin\'eaire, alors on peut exprimer la pr\'evision selon la relation

\begin{center}
\begin{equation}
\widehat{y}(t)=a_{1}y(t-k_{1})+...+a_{n}y(t-k_{n}) ; a_{i}\in \mathbb{R}, k_{i}\in \mathbb{N}
\end{equation}
\end{center}

o\`u $k_{i}$ repr\'esente un d\'ecalage temporel.\\
Il est aussi possible d'envisager que les valeurs de la variable $y$ d\'ependent non seulement des valeurs ant\'erieures de $y$ mais aussi des valeurs d'autres variables $x_{i},j=1,...,q$. Ainsi, dans ce cas le mod\`ele lin\'eaire s'\'ecrit

\begin{center}
\begin{equation}
\widehat{y}(t)=a_{01}y(t-k_{01})+...+a_{0n_{0}}y(t-k_{0n_{0}})
\end{equation}
\end{center}

Les valeurs des coefficients $a_{ij}$ du mod\`ele ainsi que les valeurs des diff\'erents d\'ecalages $k_{ij}$ du temps ne sont pas connues e til faut donc les estimer.\\
En ce qui concerne les valeurs $a_{ij}$ on pourrait envisager d'utiliser pour leur estimation la m\'ethode des \textit{moindres carr\'es}.\\
Par contre pour l'estimation des diff\'erents d\'ecalages $k_{ij}$, il y a plusieurs techniques. Ici, on effectuera une \textit{analyse spectrale} de chaque signal $x_{i}$ et aussi de $y$ \`a l'aide de la fonction scilab \textit{fft}. L'analyse spectrale d'un signal $x$ consiste \`a appliquer la transformation de Fourier sur la partie $[x(1), x(2),...,x(n)]$ du signal, avec $N=2^{r}$. On consid\`ere que la p\'eriode d'\'echantillonnage du signal $y$ (et aussi des signaux $x_{i}$) est \'egal \`a $T=1$ unit\'e du temps. L'analyse spectrale fournit comme r\'esultat le \textit{spectre du signal}, c'est-\`a-dire l'amplitude du signal $|X(l)|$ pour chaque fr\'equence $f_{l}=\frac{l}{NT}=\frac{l}{N}$ du signal. En examinant le graphique du spectre, on \'evalue les fr\'equences qui ont une grande amplitude par rapport aux autres fr\'equences. Ce sont essentiellement ces fr\'equences qui contribuent \`a la formation du signal. Si donc on a pour une fr\'equence particuli\`ere $f_{l_{0}}$ une amplitude $|X(l)|$, alors le signal pr\'esente une p\'eriodicit\'e de fr\'equence $\frac{l}{N}$ et qui influe pour beaucoup \`a la formation du signal. Il est donc possible d'estimer la valeur du signal \`a l'instant $t$ en utilisant sa valeur \`a l'instant $t-l$. Il va de soi que ce raisonnement il faut le faire pour chaque fr\'equence $f_{l}$ d'amplitude $|X(l)|$ importante. Cette d\'emarche nous permet de calculer le d\'ecalage $k_{ij}$.

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\section{Programme}
Le programme $\textbf{TP2Note.sce}$ est compos\'e de plusieurs fonctions :
- Une fonction permettant de stocker les informations contenues dans le fichier 'bourse.data' dans un tableau $M$.\\

- Notre fonction main pour executer le programme qui utilise les fonctions pour r\'epondre aux questions.\\

- Une fonction \textit{moindrecarres} qui permet d'utiliser cette m\'ethode.\\

- Une fonction \textit{graphique} qui permet d'afficher nos graphiques pour voir si notre m\'ethode fonctionne.\\

- Une fonction \textit{analyse} qui permet d'utiliser la m\'ethode de l'analyse spectrale.

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\section{R\'esultats}
1) D'abord, on compile notre programme $\textbf{TP2Note.sce}$, puis, on l'exexute avec Scilab avec la commande \textit{main()}. On remarque que notre qualit\'e est de $11.225349$.\\

2) En utilisant notre fonction d'analyse spectrale et gr\^ace \`a nos graphiques, on trouve nos variables et nos d\'ecalages. Ainsi, une fois qu'on les a trouv\'e, on peut optimiser notre mod\`ele. On a mis nos variables optimales directement dans notre programme.\\
Notre qualit\'e est d\'esormais de $0.0000001$.\\

\includegraphics{1.jpg}
\includegraphics{2.jpg}\\
On trouve la volatilit\'e gr\^ace \`a ce graphique\\
\includegraphics{3.jpg}\\
On trouve la prime de l'option gr\^ace \`a ce graphique\\
\includegraphics{4.jpg}\\
On trouve le temps de maturit\'e gr\^ace \`a ce graphique\\
\includegraphics{5.jpg}\\
On trouve le prix de l'exercice gr\^ace \`a ce graphique\\

3) Pour conclure, notre \'etude portait exclusivement sur deux m\'ethodes distinctes : la m\'thode des moindes carr\'es et la m\'ethode d'analyse spectrale. On remarque que l'analyse spectrale permet d'optimiser notre programme et nos r\'esultat.