\documentclass[twoside, a4, 12pt, frenchb]{livreCB}

%%%%%%%%%%%%%%%  Prambule commun pour le style livre  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%                                                                                    %
%%  Package qui rgle la sortie soit papier, soit cran                               %
%%                                                                                    %
%\usepackage[screen, panelleft, gray, paneltoc,code]{ecranPapier}                     %
\usepackage[print,rightpanel,paneltoc,code]{ecranPapier}                              %
%%                                                                                    %
%%  Utilisez l'une de deux lignes suivantes                                           %
%%  selon que l'on souhaite voir apparatre le mot `Chapitre'.                        %
%%  Pour que a marche il faut mettre en commentaire                                  %
%%  le ligne correspondante du fichier frenchb.ldf                                    %
%%  Il faut aussi vrifier que le fichier frenchb.ldf existe                          %
%%  dans le rpertoire \texmf\tex\generic\Babel\                                      %
%%  Sinon il faut le crer par latex frenchb.ins                                      %
%%                                                                                    %
%\def\chaptername{Chapitre}%                                                          %
\def\chaptername{ }%                                                                  %
%%                                                                                    %
%%  Fichiers des utilitaires                                                          %
%%                                                                                    %
\input{livre.tex}                                                                     %
\input{macrosEisti.tex}                                                               %
%%                                                                                    %
%%  Logo  apparatre sur al sortie cran                                             %
%%                                                                                    %

%\emblema{lapiLogo.jpg} %\calfactor=6pt                                               %
%\emblema{Lapilogo.jpg} %\calfactor=6pt                                               %
%%                                                                                    %
%%%%%%%%%%%%%%%  Fin du prambule commun pour le style livre  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\input{polyEisti.tex}

\includeonly{couvAnaNuII, ananu2012ch06, ananu2012ch05, ananu2012ch07, ananu2012ch08, ananu2012ch09}

\usepackage{amsmath}

\newcommand{\artigo}[1][1.]{\hspace{\stretch{#1}}}

\def\Bibfont{\fontfamily{phv}\fontsize{9}{12}\selectfont}%

%\newenvironment{crom}
%{\fontencoding{OT1}\fontfamily{ppl}\selectfont}{}

%\renewcommand{\rmdefault}{pbk}   % A associer avec bookman
%\renewcommand{\rmdefault}{pnc}   % A associer avec newcent
%\renewcommand{\rmdefault}{phv}   % Fontes  associer avec le package helvet
\renewcommand{\rmdefault}{ppl}   % Fontes  associer avec le package palatino
%\renewcommand{\rmdefault}{ptm}    % Fontes  associer avec le package times
%\renewcommand{\rmdefault}{pag}   % Fontes  associer avec le package avant

%\usepackage{helvet}                                    %  Packages des polices des caractres.
%\usepackage{bookman}
%\usepackage{newcent}
\usepackage{palatino}
%\usepackage{times}
%\usepackage{avant}

%%%%%%%\usepackage{dcpic,pictex}
\usepackage{dcpic,pictex}


%\usepackage[hypertex]{hyperref}

\usepackage{boxedminipage}

\makeatletter
\newsavebox{\LaBoite}
\newlength{\MYd}
\newlength{\MYa}
\newenvironment{dem}{     \begin{lrbox}{\LaBoite}
     \begin{minipage}{\linewidth}
        }{        \end{minipage}
     \end{lrbox}\bgroup
\settodepth{\MYd}{\usebox{\LaBoite}}\settowidth{\MYa}{\usebox{\LaBoite}}
\rput[bl](0,\MYd){\rnode{A}{\color{Red}$\blacktriangledown$}}
\addtolength{\MYd}{10pt}
\rput[l](\MYa,-\MYd){\rnode{B}{\color{green}$\blacktriangleleft $}}
    \ncangle[angleA=-90,angleB=180,linearc= 0.5, nodesep=-2pt, linecolor= blue]{A}{B}
     \hspace{10pt}
    \usebox{\LaBoite}
\egroup
    \kern3ex
}

\usepackage[T1]{fontenc}  % Permet d'avoir \`a la sortie des caract\`eres accentu\'es (fontes EC au lieu des CM)
\usepackage[utf8]{inputenc}   % si l'encodage de l'\'editeur est UTF-8
\newtheorem{exc}[theorem]{Exercice}

\makeatother
\input{tcilatex}
\begin{document}

\begin{center}
\textbf{ANALYSE NUM\'ERIQUE}

{\Large {\textbf{EXERCICES\ SUPPL\'{E}MENTAIRES\\[0pt]
\\[0pt]
AU\ CHAPITRE\ 10}}}

\end{center}

\bigskip

\begin{center}

{\Large {\textsc{Pseudo\"{i}nverse  -- D\'ecomposition en Valeurs Singuli\`eres }}}\\[0pt]


\vskip 0.4cm

\textbf{\today}
\end{center}

\bigskip

\vskip 0.8cm

\begin{exc}
Toute matrice $\mathbf{A}\in \mathbb{R}^{m\times n}$ de rang 1 peut se
mettre sous la forme $\mathbf{A=uv}^{\top }$ avec $\mathbf{u\in }\mathbb{R}%
^{m},\mathbf{v\in }\mathbb{R}^{n}$.\newline
Application $\mathbf{A=}\left[
\begin{array}{rrr}
2 & 1 & 1 \\
4 & 2 & 2 \\
8 & 4 & 4 \\
-2 & -1 & -1%
\end{array}%
\right] $.\ Calculer $\mathbf{u}$ et $\mathbf{v}$.
\end{exc}

\begin{exc}
Soit le syst\`eme $\mathbf{Xa=y}$, avec $\mathbf{X\in \mathbb{R}^{m\times
n},a\in \mathbb{R}^{m},y\in }\mathbb{R}^{n}$ et $m>n$. Montrer les trois propositions suivantes :

\begin{enumerate}
\item Si $\mathbf{X}^{\top }\mathbf{Xa=X}^{\top }\mathbf{y}$, alors le r\'e%
sidu $\mathbf{r}\left( \mathbf{a}\right) =\mathbf{y-Xa}$ est tel que $%
\mathbf{A}^{\top }\mathbf{r}\left( \mathbf{a}\right) =\mathbf{0.}$

\item $\mathbf{a}$ est solution au sens des moindres carr\'es ssi elle
satisfait \`a la relation $\mathbf{X}^{\top }\mathbf{Xa=X}^{\top }\mathbf{y}$.

\item La solution au sens des moindres carr\'es est unique ssi rang$\mathbf{X}=n$.
\end{enumerate}
\end{exc}



\vskip 0.6cm {\Large {\textbf{Partie TP}}} \vskip 0.4cm

L'objectif est de reconstruire une image \`e partir de sa d\'ecomposition en
valeurs singuli\`eres et en utilisant une partie de ses valeurs singuli\`eres.


La proc\'edure est la suivante :

\begin{enumerate}
\item Soit $\mathbf{A}\in \mathbb{R}^{m\times n}$ le tableau de l'image.

\item On effectue une DVS sur $\mathbf{A}$ : \texttt{[\textbf{U,S,V}] = svd(%
\textbf{A})}

\item On range les valeurs singuli\`eres selon l'ordre d\'ecroissant et on
construit un graphique avec ces valeurs singuli\`eres.

\item En examinant le graphique, on d\'ecide de garder les $p<n$ plus grandes
valeurs propres et les vacteurs correspondants.

\item On construit le tableau $\widehat{\mathbf{A}}\mathbf{=}\widehat{%
\mathbf{U}}\mathbf{S}\widehat{\mathbf{V}}^{\top }$avec $\widehat{\mathbf{U}}=%
\left[ \mathbf{u}_{1},\ldots ,\mathbf{u}_{p}\right] ,\mathbf{u}_{i}$ vecteur
propre de $\mathbf{AA}^{\top }$ et $\widehat{\mathbf{V}}=\left[ \mathbf{v}%
_{1},\ldots ,\mathbf{v}_{p}\right] ,\mathbf{v}_{i}$ vecteur propre de $%
\mathbf{A}^{\top }\mathbf{A}$.

\item \'Evaluer la qualit\'e de l'approximation en calculant la norme $%
\left\Vert \mathbf{A}-\widehat{\mathbf{A}}\right\Vert $.
\end{enumerate}

R\'ecup\'erer sur sifoci le fichier \texttt{svdImage} et utiliser le script \texttt{svdImage} avec
les images fournies pour tester la reconstruction d'une image par SVD.

Pour utiliser les programmes de lecture et affichage des images, il faut installer la bo\^{i}te \`a
  
outils \texttt{IPD} \`a l'aide du gestionnaire \texttt{atoms}
.

\end{document}
