\documentclass[a4paper, 10pt]{article}

\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage{color}
\usepackage{hyperref}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{graphics}
\usepackage{listings}
\usepackage{array, pifont}

\begin{document}
\tableofcontents

\newpage

\section{Introduction}

En traitement d'images, lorsque les images sont entachées de
bruit; on dit qu'elles sont "bruitées"; on utilise différents
filtres pour éliminer une partie ou la totalité du bruit.\\Un
filtre rudimentaire consiste à superposer plusieurs images de la
même scène. Si le bruit est aléatoire et de moyenne nulle cette
superposition aura comme conséquence d'éliminer une partie du
bruit.\\
\\L'objectif de ce TP est d’examiner si nous pouvons procéder de
façon analogue en utilisant la decomposition en valeurs
singulières (DVS).

\section{Méthodes et programmes}

Le programme permet de choisir une image et de stocker dans un
tableau une région de cette image.\\
La dimension maximale pour cette région 80 x 80.\\
Ensuite le programme va transformer en vecteur ce tableau de sorte
que l'image de dimension nl x nc devienne un vecteur colonne à nl
x nc lignes.\\
Il Crée une matrice, noté A, qui contient nib fois cette
colonne.\\
On ajouter à cette matrice un bruit uniforme entre -0,5 et 0,5
multiplié par un gain. Pour engendrer du bruit uniforme, on
utilise la fonction grand, comme suit: $$A = A + gain *
grand(A,'unf',-0.5,0.5)$$\\
On effectue la décomposition en valeurs singulières de la matrice
A, c'est-à-dire on calcule les matrices U,$\Delta$,V telles que :
$A = U\Delta V^T$.\\
On trouve enfin, sur la base de la décomposition en valeurs
singulières, la meilleure approximation avec un nombre de valeurs
singulières minimal, de A. Soit An cette approximation, avec n
$\leq$
nib nombre de valeurs singulières retenu.\\
Alors on a $A_n = U_n\Delta V_n^T$ , où $U_n$ contient les n
premières colonnes de la matrice U et $\Delta_n$ est la matrice
diagonale de n plus grandes valeurs singulières.\\
La matrice $V_n$ est de format (nib x n).\\
Ses colonnes correspondent aux images superposées.\\
Nous pouvons donc remplacer chaque colonne par le centre de
gravité de ses valeurs. En faisant ce calcul pour ensemble de n
colonnes, on obtient un vecteur ligne Gn de dimension (1 x
n).\\
L'estimation de l'image initiale est donnée par la relation
$$\widehat{A} = U_n\Delta_nG_n^T$$

\newpage
\section{Résultats}

\subsection{Exécution et observation du programme}
\begin{itemize}
\item Lecture de l'image\\
La première étape est d'ouvrir le fichier image que l'on souhaite
traiter.\\
\\
\item Choix de la région de l'image\\
Pour ne pas saturer la mémoire vive et faire planter l'ordinateur,
le programme extrait une zone de 80 x 80 que l'on nomera B.\\
\begin{figure}[here]
\begin{center}
    \includegraphics[scale=1]{g.JPG}
    \caption{Choix de la zone de travail}
    \end{center}
\end{figure}
\\
\item Création du vecteur A dont la colonne est la vectorisation
de B\\
Le vecteur A est constitué des colonnes de B (par découpage)\\
\begin{figure}[here]
\begin{center}
    \includegraphics[scale=1]{g2.JPG}
    \caption{Découpe de B}
    \end{center}
\end{figure}
\\
\newpage
\item Il répète nib ($\leq$) la colonne A\\
On duplique jusqu'à 40 fois le vecteur A pour obtenir une
matrice.\\
\begin{figure}[here]
\begin{center}
    \includegraphics[scale=1]{g3.JPG}
    \caption{Duplication de A}
    \end{center}
\end{figure}
\\
\newpage
\item On applique le bruit sur A\\
On obtient une image dont on ne reconnait plus rien de l'imiage
initiale.\\
\begin{figure}[here]
\begin{center}
    \includegraphics[scale=1]{g4.JPG}
    \caption{Exemple d'un bruitage sur l'échantillon initial}
    \end{center}
\end{figure}
\\
\newpage
\item On applique un filtre moyen\\
Sur les x fois qu'on effectue le bruit, on fait une moyenne avec
tout les résultats obtenus afin d'obtenir la nouvelle image.\\
\begin{figure}[here]
\begin{center}
    \includegraphics[scale=1]{g5.JPG}
    \caption{Moyenne des images bruitées optenues}
    \end{center}
\end{figure}
\\
\newpage
\item Il restitue l'image filtrée.\\
\begin{figure}[here]
\begin{center}
    \includegraphics[scale=1]{g6.JPG}
    \caption{Comparaison une image bruitée et sa moyenne}
    \end{center}
\end{figure}
\end{itemize}

\subsection{Bruit: décomposition en matrice}
Pour pouvoir appliquer le bruit nous devons appliquer la formule
suivante:
$$A = U\Delta V^T$$
Ce qui nous donne le shéma matriciel suivant:\\
\begin{figure}[here]
\begin{center}
    \includegraphics[scale=1]{g7.JPG}
    \caption{Plan matriciel du bruitage}
    \end{center}
\end{figure}

\section{Discussion}
Le bruit provoque certains effet comme:\\
- Une perte de netteté sur les détails\\
- Un grain et autres dominantes colorées sont des symptômes bien
connus des photographes d'aujourd'hui.

\section{Conclusion}
Nous pouvons dire pour conclure, qu'en superposant plusieurs
images de la même scéne et en appliquant le filtre de suppression
de bruit, on elimine donc le bruit et améliore ainsi la qualité de
l'image.

\end{document}
