\section{Introduction}

\bigskip

 Soit $f(x)$ une fonction  réelle. On cherche
ses racines, c'est-à-dire les solutions de l'équation
\begin{equation}\label{a}
f(x)=0
\end{equation}
Nous allons utiliser la \textit{méthode de Newton} qui consiste à
chercher la solution comme limite de la suite:
\begin{equation}\label{1}
x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f^\prime(x_n)} \, ; \, n=1,2, \ldots
\end{equation}
$x_0$ étant choisi aléatoirement.

\section{Méthodes et programme}

\subsection{Aspects théoriques}

 L'algorithme issu de la méthode de Newton est le suivant :
\begin{center}
$ \textrm{Choix aléatoire de } x_0, $\newline $ x_{n+1}=g(x_n)$
\end{center}
où
$$
 g(x)=x-\frac{f(x)}{f^\prime(x)}
 $$
 Il s'agit d'un algorithme itératif qui permet de remplacer le problème initial -- recherche
de racines de la fonction $f(x)$ -- par la recherche de point fixe
de la fonction $g(x)$ :
 $$
 x=g(x)
 $$

 Comme pour tout algorithme itératif, quelques questions se posent:
 \begin{description}
    \item[\textbf{(a)}] Est-ce que la suite (\ref{1}) converge?
    \item[\textbf{(b)}] Si la  suite $x_n$  converge, est-ce que sa limite est
    bien la solution recherchée de l'équation (\ref{a})?
 \item[\textbf{(c)}] Comment choisir la condition initiale pour
 garantir la convergence vers la solution de l'équation  (\ref{a})?
  \end{description}
 Voici un théorème (voir \cite{1}) qui donne une réponse aux questions (a) et
 (b).

\begin{thm}\label{t.2}
 Soit $\xi$  un point fixe de la fonction $g(x)$:
 $$
 \xi=g(\xi)
 $$
 Si la dérivée $g^\prime(x)$ est continue  et  si
 $$
 |g^\prime(\xi)|<1
 $$
alors il existe un intervalle $[a,b]$ tel que $\xi\in [a,b]$ et
 que pour tout $x_0\in [a,b]$  la suite  récurrente
 $$
x_0, \ x_{n+1}=g(x_n), \ n=1,2,3,\dots
$$
converge vers $\xi$.


\end{thm}

\bigskip

Revenons  à la méthode de Newton  qui résout l'équation (\ref{a}).
Soit $\xi$ la solution de l'équation: $f(\xi)=0$. Alors, $\xi$ est
le point fixe de la fonction
 $$
g(x)=x-\frac{f(x)}{f^\prime(x)}
 $$
 On calcule  la dérivée:
 $$
 g^\prime(x)=\frac{f(x)f^{\prime\prime}(x)}{[f^\prime(x)]^2}
 $$
 Quand $x=\xi$ on a:
 $$
 g^\prime(\xi)=0<1
 $$
 Donc on peut appliquer ici le théorème \ref{t.2}.

On remarque cependant que l'intervalle $[a,b]$ de convergence n'est
pas défini explicitement. La question (c) sur le choix de la
condition initiale dans l'algorithme reste donc ouverte. Voici un
théorème qui  donne  une précision utile:

\begin{thm}\label{t.3a}
Si $f\in C^2[a,b]$  vérifie les conditions suivantes:

\begin{description}
    \item[(i)] $f(a)\cdot f(b)<0$
    \item[(ii)] $\forall x\in [a,b] \ \ f^\prime(x)\ne 0$
    \item[(iii)]$\forall x\in [a,b] \ \ f^{\prime\prime}(x)\ne 0$
\end{description}
alors, en choisissant $x_0\in [a,b]$ tel que
$$
f(x_0)f^{\prime\prime}(x_0)>0$$ la suite
$$
x_0, \ x_{n+1}=g(x_n), \ n=1,2,3,\dots
$$
converge vers l'unique solution $\xi$de l'équation (\ref{a}) dans
$[a,b]$.
\end{thm}

Nous avons appliqué la méthode de Newton au calcul des racines
carrées de nombres réels ( voir \cite{1}). Soit $\alpha >0$ le
nombre dont on cherche la racine carrée. Pour ce faire, on doit
résoudre l'équation
$$
x^2-\alpha=0
$$
Alors $f(x)=x^2-\alpha$.

Les approximations successives de $\sqrt\alpha$ par la méthode de
Newton s'écrivent:
$$
x_0, \ \
x_{n=1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f^\prime(x_n)}=\frac{x_n}{2}+\frac{\alpha}{2x_n}
$$

Le programme  qui réalise cet algorithme permet de calculer la
racine carrée d'un nombre positif arbitraire avec une précision
voulue. Le source se trouve en annexe.

En ce qui concerne le choix de l'intervalle l'application  du
théorème \ref{t.3a}, dans le cas particulier de la fonction
$f(x)=x^2-\alpha$,  permet de déduire les conditions suivantes que
doivent être vérifiées par l'intervalle $[a,b]$ et le point initial
$x_0$ :
 \begin{eqnarray}
 a^2<\alpha<b^2 \\ \nonumber
 0\notin [a,b] \\ \nonumber
 x_0^2>\alpha
 \end{eqnarray}

 Remarquons que, contrairement au cas général, la vérification de ces
conditions peut être facilement programmée. Cependant, nous avons
décidé de ne pas programmer la vérification de ces conditions du
théorème  pour permettre la réutilisation de notre programme pour la
recherche  des racines d'autres fonctions. En effet, nous avons
défini la fonction $f(x)$ et ses dérivées sous forme de fonctions
indépendantes. Le programme principal qui réalise la méthode fait
appel à ces fonctions. Pour l'utiliser avec d'autres fonctions il
suffit de changer les définitions dans les fichiers correspondants.
Cela offre une plus grande généralité, mais au prix  de  choix
d'intervalle presque manuel.

Le programme propose à l'utilisateur de choisir
 un intervalle et un point initial et  vérifie juste si une racine
 peut être trouvée dans l'intervalle choisi:
 $$ f(a)f(b)<0
 $$
 Dans le cas de réponse négative l'utilisateur peut modifier son
 choix ou abandonner.

\bigskip

\subsection{Vitesse de convergence}

\bigskip

Une   fois que  la méthode est définie et sa convergence est assurée
nous pouvons nous poser une nouvelle question:  quel est le nombre
d'itérations à faire pour obtenir une précision  de calcul voulue?
La réponse à cette question dans le cas de la méthode de Newton est
donnée par le théorème suivant:

\begin{thm}\label{t.3}
Soit $\xi$ une racine simple de $f(x)$:
$$
0=f(\xi),\ \ f^{\prime}(\xi)\ne 0,\ \ f^{\prime\prime}(\xi)\ne 0
$$
Soit $[a,b]$ l'intervalle de convergence  établi dans le théorème
\ref{t.3}.
  Soit
$$
x_0\in[a,b],\ \ x_{n+1}=g(x_n)
$$
la suite qui converge vers $\xi$. Si on note
$$
e_n=x_n-\xi
$$
l'erreur d'approximation, alors on a pour cette erreur l'estimation
suivante
$$ \label{f.2}
|e_{n+1}|\cong \left|
  \frac{f^{\prime\prime}(\xi)}{f^{\prime}(\xi)}
  \right| \cdot\frac{|e_n|^2}{2}
$$
\end{thm}

Le dernier théorème montre  que la convergence est quadratique. On
dit dans ces cas que la méthode  récurrente est d'ordre 2.

La difficulté principale de la méthode de Newton  est le choix de
 l'intervalle dans lequel se trouve la racine.  L'application  du théorème \ref{t.3} à chaque
 fonction particulière aboutit à un ensemble des  conditions dont
 il faut vérifier la satisfaction. Dans le cas général c'est une tâche difficile,
 parce qu'il faut écrire -- pour chaque fonction -- un programme particulier qui vérifier
 numériquement ces conditions.
 En particulier c'est la condition 2 du théorème qui est la plus difficile à vérifier.
 En effet, nous ne pouvons pas parcourir numériquement tous les points d'un intervalle sur l'axe réel.
Donc cette condition peut être vérifiée seulement en un nombre fini
de points.

  On peut choisir un réseau de points très dense en supposant que
  la fonction $f(x)$  ne présente pas de variations importantes
  sur de petits intervalles (déjà une restriction !). Mais cela impose un temps de calcul
  important  pour  effectuer le contrôle.

\subsection{Programmes}

Le programme \texttt{racine.sci} est divisé en trois parties :
\begin{description}
  \item Initialisations diverses.- En particulier nous définissons
  la forme de la fonction $f$ et de ses deux premières dérivées.
  Le programme demande aussi à l'utilisateur de fournir les
  valeurs :
\begin{itemize}
  \item des paramètres de la fonction (ici il s'agit du paramètre
  $\alpha$);
  \item de la valeur du pas de discrétisation \texttt{dt} pour le calcul
  de la fonction (un choix de \texttt{dt = 0.001} est, en général bon);
  \item du nombre maximal \texttt{maxIter} d'itérations à effectuer (en fonction
  de la nature de la fonction on choisit \texttt{maxIter} entre 50 et 1000,
  voire plus, si nécessaire)
\end{itemize}
 \item 1e partie.- Recherche d'un intervalle dans lequel se
   trouve un nombre impair de racines, en utilisant le test $f\left( a
    \right) \dot f\left( b \right) < 0$ ou $a$ et $b$ sont les
  extrémités de l'intervalle. Ces extrémités sont fournies par
  l'utilisateur et si le test n'est pas vérifié, alors
  l'utilisateur est invité à donner un nouvel intervalle, ou, éventuellement, de s'arrêter.
  \item 2e partie.- Évaluation de la racine de la fonction dans
  l'intervalle retenu lors de la 1e partie en utilisant l'algorithme itératif exposé plus haut.

  L'arrêt des itérations de cet algorithme peut se faire de deux
  façons :
\begin{itemize}
  \item Soit la précision voulue pour le calcul de la racine est atteinte.
  \item Soit le nombre d'itérations devient plus grand qu'un
  nombre maximal d'itérations -- \texttt{maxIter} -- fourni par
  l'utilisateur.
\end{itemize}
La valeur de la précision pour le calcul de la racine n'est pas
fournie par l'utilisateur mais calculée par le programme en
utilisant le résultat du théorème \ref{t.3} et la précision de la
machine. Nous devons arrêter les itérations dès que $|e_{n+1}|\cong
eps$. D'après (\ref{f.2}), nous avons :
$|e_{n}|\cong \displaystyle{ \left( 2 \cdot eps \cdot \left|\frac{f^{\prime}(\xi)}{f^{\prime\prime}(\xi)}%
\right| \right)^{-\frac12}}$. Du fait que nous ne connaissons pas
les valeurs de $f^{\prime}(\xi)$ et $f^{\prime\prime}(\xi)$, nous
prenons la valeur du rapport égale à 1 et nous avons ainsi pour la
précision la valeur
$$
precision \, = \, \sqrt{2 \cdot eps}
$$

\end{description}

Le programme à la fin des calculs, crée un fichier de compte rendu,
appelé ici \texttt{newton.crd}, qui contient le détail des calculs
et qui peut être repris tel quel dans un fichier \TeX . De plus le
programme crée un graphique qui représente la fonction $f$ dans
l'intervalle choisi et l'approximation pour le calcul de la racine.


\textbf{Limitations}.- 1$^\circ$ Il faut noter, et ceci constitue la
principale limitation de la méthode de Newton et, par voie de
conséquence du programme aussi, que nous ne pouvons calculer que des
racines qui sont des nombres réelles. \newline 2$^\circ$ Il va de
soi, que les paramètres de la fonction doivent aussi être des
nombres réels.


\section{Résultats}

Les résultats du programme pour $\alpha = 0.0025$ sont donnés par la
table \ref{tab} pour différentes valeurs de la précision.

\begin{table}
  \centering
  \input{newton1.crd}
   \caption{Résultats numériques pour $\alpha = 0.0025$}\label{tab}
\end{table}

La figure \ref{f1} fournit la représentation graphique du
déroulement de l'algorithme.


\begin{figure}
 \begin{center}
 \includegraphics[width=10cm,height=10cm]{newton1}
 \end{center}
 \caption{Représentation graphique des approximations successives. $x_0=0.95, \, \alpha=0.0025$}\label{f1}
\end{figure}


\section{Discussion}

Les résultats obtenus par l'exécution du programme, qu'on peut voir
sur la table \ref{tab} sont corrects.

Afin de tester la robustesse de l'algorithme nous avons exécuté le
programme en prenant  $\alpha = 10^{-16}$. Les résultats donnés par
la table \ref{tab2} montrent que les performances de l'algorithme ne
se détériorent pas.

\begin{table}
  \centering
  \input{newton2.crd}
  \caption{Résultats numériques pour $\alpha = 10^{-16}$}\label{tab2}
\end{table}

D'autre part pour tester la validité de la méthode de Newton pour le
calcul de racines carrées, nous avons utilisé le programme pour
calculer la racine carrée de $2$. Le tableau \ref{t3} et la figure
\ref{f3} fournissent les résultats. Nous pouvons constater que
l'approximation de $\sqrt{2}$ est excellente.

\begin{table}
  \centering
  \input{newton3.crd}
   \caption{Résultats numériques pour $2$}\label{t3}
\end{table}

\begin{figure}
 \begin{center}
 \includegraphics[width=10cm,height=10cm]{newton2}
 \end{center}
 \caption{Représentation graphique de l'approximation de $\sqrt{2}$. $x_0=10, \, \alpha=2$}\label{f3}
\end{figure}



\section{Conclusions}

Nous avons appliqué la méthode de Newton pour calculer les racines
carrées  des nombres réels positifs. Nous avons pu constater que
cette méthode a de bonnes performances de convergence pour le calcul
des racines dans ce cas. Il serait donc intéressent de tester la
méthode de Newton à la localisation des racines des polynômes.

D'autre part il serait aussi intéressent de comparer la méthode de
Newton pour le calcul de la racine carrée avec d'autres méthodes
d'analyse numérique.


\bibliography{rapport_exemple}
\bibliographystyle{plain}

Exemple :
\begin{thebibliography}{1}
%   \bibitem[label]{cle} Auteur, TITRE, editeur, annee
   \bibitem[1]{1} M. SCHATZMAN, Analyse numérique, Masson, 1991
\end{thebibliography}
%%%% fin exemple %%%%

%[label] définit le label qui apparaîtra dans la bibliographie et
%dans le texte après appel de la commande \cite{cle}.


\newpage

\appendix

\section{Programme}

\textbf{N.B. Le listing des programmes figure ici à titre d'exemple, afin de vous donner une idée de la
manière à écrire des programmes \textit{modulaires} et \textit{suffisamment commentés}. Il ne doit pas faire partie
de votre rapport. Par contre les programmes, prêts à fonctionner, doivent être envoyés avec votre rapport.
}
{\small
\begin{verbatim}
//  RACINES D'UNE FONCTION PAR LA MÉTHODE DE NEWTON

//  Ce programme permet de calculer la racine carrée d'un nombre alpha
//  en utilisant la méthode de Newton.


//*************************************************************************
//
//                              Partie Initialisations
//                              ======================
//
//  Saisie des valeurs
//    - du paramètre  alpha de la fonction,
//    - du pas de discrétisation dt,
//    - du nombre d'itérations maximal maxIter,
//
//  Définition de la fonction f et de ses deux premières dérivées fdot et f2dot.
//
//*************************************************************************


//  On peut définir une fonction et l'enregistrer dans un fichier.
//  Pour pouvoir faire appel à cette fonction on la déclare dans le programme principal
//  à l'aide de la commande "getf".
//  Ici on définit de cette façon la fonction f(x)=x*x-alpha

   getf('f.sci');

//  Une autre façon de définir une fonction, directement dans le corps du programme principal.
//  Ici on définit de cette façon les dérivées 1e et 2e de la fonction f(x).

   deff('y=fdot(x,alpha)','y=2*x');
   deff('y=f2dot(x,alpha)','y=2');

//  On forme la fonction g(x) qui défini le calcul récurrent des approximations successives.

   deff('y=g(x,alpha)','y=x-f(x,alpha)/fdot(x,alpha)');
   deff('y=gdot(x,alpha)','y=f2dot(x,alpha)*f(x,alpha)/(fdot(x,alpha)*fdot(x,alpha))');

//*************************************************************************

//  Le programme demande à l'utilisateur de saisir certaines informations.
//  Pour cela il existe deux méthodes: en ligne de commande de Scilab ou
//  à l'aide d'une fenêtre de dialog. La fonction lecParams utilise la 1e méthode.

   getf('lecParams.sci');

   [alpha, dt, maxIter] = lecParams();

   getf('plotGraphe.sci');    //  Fonction pour le tracé de la courbe y=f(x).

//*************************************************************************
//
//                              Première Partie
//                              ===============
//
//  Recherche d'un intervalle dans lequel se trouve une racine de la fonction
//
//*************************************************************************

   write(%io(2), "Le programme va verifier les conditions d''existence d''une racine "...
                 " dans l''intervalle indiqué");

//  Le choix de l'intervalle  dans lequel le programme va chercher une racine
//  est difficile. Nous avons  laissé ce choix entièrement à l'utilisateur.
//  Le programme aide l'utilisateur en lui indiquant si la racine peut être trouvée ou non
//  dans l'intervalle qu'il a choisi.
//  Si la condition f(a)*f(b)<0 n'est pas vérifiée, l'utilisateur peut changer d'intervalle
//  autant de fois qu'il le souhaite.
//  le programme prévoit deux possibilités de sortie de cette phase :
//    soit le bon intervalle est trouvé  (indicateur "test" positionné à 0)
//    soit l'utilisateur décide d'abandonner   (indicateur "decision" positionné
//                                                     à 0 par l'utilisateur)



//  Boucle sur les différentes valeurs de la précision des calculs

    write(%io(2), "    ");
    epsilon = sqrt(2* %eps)
    printf("Précision  = %10.8e\n", epsilon);

    test=1;
    decision = 1;

    [test, decision, a, b, x0] = recInt(test, decision);

    if ~decision
        write(%io(2), "FIN par abandon ");
      else
        write(%io(2), "L''intervalle a été trouvé. ");

//*************************************************************************
//
//                        Deuxième Partie
//                        ===============
//
//  Évaluation de la racine de la fonction
//
//*************************************************************************

        [tblPrec, tblConv] = evalRac(a, b, x0, alpha, dt, epsilon, maxIter);

        write(%io(2), "C''est fini! ");


//        Tracé du graphe de la fonction

        nuEcran = 0;
        plotGraphe(a, b, alpha, dt, nuEcran);

//  Ouverture du fichier de compte rendu "newton.crd"  en écriture

        nomFicCR = 'newton.crd';
        lst = mopen(nomFicCR, 'w');

//  Écriture du compte rendu

        ficCR(tblConv, tblPrec, lst);

//  Fermeture du fichier de compte rendu "newton.crd"

        file('close',lst);
    end;

//  FIN DU PROGRAMME
//*************************************************************************

function y = f(x,alpha);

//*************************************************************************
//
//   Fonction y = f(x)
//
//  Variables et tableaux :
//                en entrée : x     = valeur de la variable indépendante x
//                            alpha = valeur dont on cherche la racine carrée
//                en sortie : y     = erreur de l'approximation
//
//*************************************************************************

    y=x**2-alpha;

//*************************************************************************

function [alpha, dt, maxIter] = lecParams();

//*************************************************************************
//
//  Fonction qui permet la saisie des paramètres du problème
//  en utilisant la ligne de commande Scilab
//
//  Variables et tableaux :
//                en sortie : alpha   = valeur dont on cherche la racine carrée
//                            dt      = pas de discrétisation
//                            maxIter = nombre max d'itérations autorisée
//
//*************************************************************************

//  La fonction "write" permet d'afficher un message sur l'écran
//  La fonction "read" permet de lire  des valeurs saisies au clavier

   write(%io(2), "Donnez le nombre dont vous voulez calcule la racine carré ");
   alpha = read(%io(1),1,1, '(e10.0)');

   write(%io(2), "Quelle pas de discrétisation dt souhaitez vous?");
   dt = read(%io(1),1,1, '(e10.0)');


   write(%io(2), "Entrez un nombre d''itérations à ne pas dépasser ");
   maxIter = read(%io(1),1,1, '(e10.0)');


//*************************************************************************

function[test, decision, a, b, x0] = recInt(test, decision)

//*************************************************************************
//
//  Fonction qui calcule un intervalle dans lequel se trouve
//  une racine de multiplicité impaire. Dans ce cas
//  la variable test est positionné à 1.
//  La recherche peut être abandonnée à la demande de l'utilisateur.
//  Dans ce cas la variable test est positionnée à 0.
//
//  Variables et tableaux :
//                en sortie : a, b     = les bornes de l'intervalle
//                            x0       = point initial
//      en entrée et sortie : test     = variable indiquant si la recherche
//                                       a été abandonnée ou non. (N.B. En entrée
//                                       test doit être positionné à 1)
//
//*************************************************************************

        while test&decision

//           Une autre possibilité d'interaction avec l'utilisateur :
//           une fenêtre de saisie réalisée par la commande "x_mdialog"
//           avec affichage, le cas échéant, des valeurs par défaut.

             data=x_mdialog('Choix  de l''intervalle de recherche',...
             [' Entrez a';' Entrez b';'Point initial';],['0';'1';'0.1';]);

//           Récupération des données de la fenêtre de dialogue

            D=evstr(data);
            a=D(1);
            b=D(2);
            x0=D(3);

            if f(a,alpha)*f(b,alpha)>0
                write(%io(2), "La condition n''est pas vérifiée. ");
                write(%io(2), "Pour continuer tapez 1 pour abandonner tapez 0 ");
                decision= read(%io(1),1,1, '(e10.0)');
                test=1;
              else write(%io(2), "La condition est  vérifiée. ");
                test=0;
            end;

        end;  // Boucle "while"

//*************************************************************************


function [tblPrec, tblConv] = evalRac(a, b, x0, alpha, dt, epsilon,
maxIter)

//*************************************************************************
//
//   Fonction qui calcule la valeur de la racine
//
//  Variables et tableaux :
//                en sortie : a, b     = les bornes de l'intervalle
//                            x0       = point initial
//                            alpha   = valeur dont on cherche la racine carrée
//                            dt      = pas de discrétisation
//                            epsilon = valeur de précision (dépend de la machine)
//                            maxIter = nombre max d'itérations autorisée
//                            iterPrec = numéro de l'itération.
//                en sortie : tblPrec  = tableau contenant la précision de la solution,
//                                       la solution, la valeur de la fonction et
//                                       le nombre d'itérations effectuées.
//                            tblConc  = tableau contenant la vitesse de convergence
//
//*************************************************************************


//  Calcul des approximations successives de la racine

            x=x0;
            tblConv(1) = x0;
            y1=g(x,alpha);
            iter = 1;
            while (abs(y1-x) > epsilon)&(iter < maxIter)
                x = y1;
                tblConv(iter+1) = x;
//                printf("approximation: x= %10.8e\n",x);
                y1=g(x,alpha);
                iter =iter+1;
            end;
            res = f(y1,alpha);
            tblPrec(1) = epsilon;
            tblPrec(2) = y1;
            tblPrec(3) = res;
            tblPrec(4) = iter;
            printf("Solution: x= %10.8e, valeur fct = %10.8e, Nb itér = %6.0f, Prec = %10.8e\n", ...
                    y1, res, iter, epsilon);


//*************************************************************************

function [] = ficCR(tblConv, tblPrec, lst);

//*************************************************************************
//
//   Ecriture du fichier de Compte Rendu
//
//  Variables et tableaux :
//                en entrée : tblConv, tblPrec = tableaux de compte rendu
//                            lst              = nom du fichier où sera stocké le compte rendu
//
//*************************************************************************


    disp('Ecriture du fichier de Compte Rendu. Patientez svp.');
    fprintf(lst,'\\begin{verbatim}  \n');
    fprintf(lst,'  \n');
    fprintf(lst,'======================================================================== \n');
    fprintf(lst,'  \n');
    fprintf(lst,'Méthode de Newton pour le calcul des racines de fonction y = x^2-alpha \n');
    fprintf(lst,'  \n');
    fprintf(lst,'  \n');
    fprintf(lst,'Valeur de alpha         =  %10.8e\n',alpha);
    fprintf(lst,'  \n');
    fprintf(lst,'  \n');
    fprintf(lst,'Pas de discrétisation   =  %10.8e\n',dt);
    fprintf(lst,'  \n');
    fprintf(lst,'  \n');
    fprintf(lst,'Nombre max d''itérations = %10.0f\n',maxIter);
    fprintf(lst,'  \n');
    fprintf(lst,'  \n');
    fprintf(lst,'Approximation en fonction de la valeur de la précision \n')
    fprintf(lst,'  \n');
    fprintf(lst,'  \n');
    fprintf(lst,'     Précision     Racine x              f(x)            Nb iter \n');
    fprintf(lst,'  \n');
    fprintf(lst,'%10.8e  %10.8e    %10.8e    %6.0f \n', tblPrec(1),...
                tblPrec(2), tblPrec(3), tblPrec(4));
    fprintf(lst,'  \n');
    fprintf(lst,'  \n');
    fprintf(lst,'Vitesse de convergence \n')
    fprintf(lst,'  \n');
    fprintf(lst,'Précision =  %10.8e\n',tblPrec(1));
    fprintf(lst,'  \n');
    fprintf(lst,'Itération       x  \n');
    for i = 1:tblPrec(4)
        fprintf(lst,'%6.0f  %10.8e\n', i, tblConv(i));
    end;
    fprintf(lst,'  \n');
    fprintf(lst,'=======================================================================  \n');
    fprintf(lst,'  \n');

//*************************************************************************


function [] = plotGraphe(a, b, alpha, dt, nuEcran);

//*************************************************************************
//
//  Tracé d'une fonction donné par f(.) dans l'intervalle [a, b]
//
//  Variables et tableaux :
//                en entrée : alpha   = valeur dont on cherche la racine carrée
//                            dt      = pas de discrétisation
//                            a,b     = extrémités de l'intervalle de variation pour f
//                            nuEcran = numéro d'écran pour le tracé
//
//*************************************************************************

//  Préparation de  graphes

//  Évaluation de l'axe des abscises

      t=a:dt:b;
//  Calcul pour chaque point de l'axe des abscises, de l'ordonnée correspondante

      for i=1:length(t)
          f_graph(i)=f(t(i),alpha);
      end
      zero_graph=zeros(1,length(t));

//  Initialisation d'une fenêtre graphique

      xset('window',nuEcran); // crée une fenêtre et lui associe un numéro
      xbasc();
      xselect();

//  La fonction plot2D trace ici deux courbes.
//  Chaque courbe est tracée point par point
//  et chaque point est défini par deux coordonnées : (x,y).
//  Ainsi une courbe est définie par deux tableaux : X qui regroupe les coordonnes x
//                                                     de tous les points de la courbe
//                                                  et Y qui regroupe toutes les ordonnées.
//  S'il faut tracer plusieurs courbes on doit indiquer
//  en premier argument de plot2D  tous les tableaux des abscises
//  et en deuxième argument tous les tableaux des ordonnées.
//  Voir l'aide de Scilab pour plus d'informations sur plot2d


      plot2d([t;t]',[zero_graph;f_graph']',[5,2],"161","zero@f(x)",[2,10,2,10])


//*************************************************************************

}

\end{verbatim}