\documentclass[10pt,a4paper]{article} 

\usepackage{ananu}

\begin{document}
%%  Le titre du TP
\title{\textbf{Rapport du TP1}}

%%  Commande de page de garde avec 5 arguments (les arguments entre accolades) :
%   1er argument : Numéro du TP (ici TP No 0).
%   2e argument : Numéro du binôme (ici No A00, c'est-� -dire groupe A, binôme 00).
%   3e et 4e arguments : Prénoms et noms du binôme.
%   5 argument : Prénom et nom dans le cas d'un trinôme (ici le champ est laissé vide).


\pageGardeAnaNu{1}{B6}{Alexandre Peltier} {Louis Pendu}{  }
\section{Introduction :}
$ $ \\
Nous sommes ici confront�s �  un probl�me typiquement informatique. En effet il s'agit d'�valuer les erreurs de repr�sentation d'une machine selon le nombre de bits de mantisse de celle-ci. Afin de visualiser ce ph�nom�ne nous avons travaill� sur un polyn�me de degr� trois en le calculant de deux fa�ons diff�rentes par la m�thode classique et la m�thode de Horner et en simulant des machines de diff�rentes taille de mantisse. Tous les graphes utilis�s dans ce rapport ont �t� r�alis�s avec une mantisse de 16 bits.\\
A l'aide de ce rapport nous allons montrer que la mani�re d'effectuer des calculs influe fortement sur les erreurs que peut commettre une machine.

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\section*{Analyse :}
\subsection{Premi�re partie: Calcul classique}
Comme premier travail nous avons cod� en scilab le polyn�me suivant:
\begin{equation}\label{1}
P(x)=-1+3*x-3*x^2+x^3
\end{equation}
\\
Nous avons donc calcul� la valeur de ce polyn�me sur un intervalle [1-$\delta$,1+$\delta$] (le $\delta$ pouvant prendre la valeur 0,1 ou 0,5 selon le choix de l'utilisateur au d�but du programme) avec la double pr�cision de la machine utilis�e afin d'obtenir des valeurs de r�f�rence lors de la comparaison avec les valeurs calcul�es avec une pr�cision moindre.
\\
\includegraphics[scale=1]{Classique-Transform�e_Classique.pdf} 
Le graphe obtenu ci-dessus est difficilement interpr�table et lisible car nos 2 courbes sont sensiblement �gales. C'est pourquoi nous joignons ci-dessous un zoom de ce graphe afin de pouvoir expliquer le r�sultat obtenu.
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\includegraphics[scale=1]{Classique-Transform�e_Classique_Zoom.pdf} 
On voit bien ici apr�s zoom que nos deux courbes sont tr�s proches mais qu'il y a une erreur entre les deux\\
\\
Dans un deuxi�me temps on s'int�resse � cette erreur. Le graphe ci-dessous repr�sente donc la diff�rence de chaque point entre le calcul classique et le calcul approch� 
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\includegraphics[scale=1]{Erreur_Classique.pdf} 
Sur ce graphe on se rend compte que l'erreur absolue est comprise entre 0 et $4.5*10^-5$. Cette erreur est assez proche de z�ro donc l'erreur est assez faible.\\
Avec Scilab nous avons aussi calcul� l'erreur moyenne absolue qui correspond � une moyenne de toutes les valeurs affich�es sur le graphe pr�c�dent. On a obtenu une erreur absolue : \\
\begin{equation}
 E(classique) = 0.000016 
\end{equation}
\\
Malgr� tout afin de minimiser cette erreur on essaye de faire une meilleure approximation en utilisant la m�thode de Horner.
\newpage
\subsection{Deuxi�me partie: Calcul de Horner}
Afin de mener � bien notre objectif qui est de d�montrer l'influence de l'algorithme de calcul sur la pr�cision du r�sultat, nous avons aussi cod� ce m�me polyn�me mais sous la forme de Horner:
\begin{equation}\label{3}
P(x)=-1+x(3+x(-3+x))
\end{equation} 
\includegraphics[scale=1]{Horner-Transform�e_Horner1.pdf}
Le graphe obtenu ci-dessus est assez similaire au premier graphe obtenu au d�but du TP. Il est tout aussi difficile de le lire c'est pourquoi par un souci de clart� et pour une �tude plus fine nous avons pr�f�r� zoomer sur une partie de ce graphe.
\newpage
\includegraphics[scale=1]{Horner-Transform�e_Horner1_zoom.pdf} 
Lors du zoom on voit que nos courbes sont assez similaires mais il existe une erreur que nous allons �tudier, d�terminer  puis comparer par la suite avec les r�sultats par la m�thode classique. \\
\\
A pr�sent on s'int�resse donc � cette erreur. Le graphe ci-dessous repr�sente donc la diff�rence de chaque point entre le calcul de Horner et celui induit par son approximation.
\newpage
\includegraphics[scale=1]{Erreur_Horner.pdf} 
Sur ce graphe on se rend compte que l'erreur absolue est comprise entre 0 et $1.5*10^-5$. Cette erreur est relativement proche de z�ro mais ce graphe ne permet pas de la comparer avec celle obtenue par la m�thode classique les valeurs �tant bien trop dispers�es.\\
Avec Scilab nous avons tout comme pour l'autre m�thode calcul� l'erreur moyenne absolue afin de pouvoir la comparer avec l'erreur pr�c�dente. Cette erreur correspond � une moyenne de toutes les valeurs affich�es sur le graphe pr�c�dent. On a obtenu une erreur absolue : \\
\begin{equation}
 E(horner) = 0.000005 
\end{equation}
\newpage
\subsection{Troisi�me Partie : Comparaison}
Dans cette partie nous nous int�ressons � la comparaison des deux erreurs afin de d�finir laquelle des deux m�thodes doit �tre pr�conis�e pour calculer notre polyn�me. Pour rappel voici les moyennes des deux erreurs absolues que nous avons calcul� :
\\
\begin{equation}
 E(classique) = 0.000016 
\end{equation}
\begin{equation}
 E(horner) = 0.000005 
\end{equation}
\\
\\On constate donc que l'erreur par la m�thode classique est trois fois plus grande que celle de Horner. Par cons�quent il est pr�f�rable, afin d'avoir une erreur moindre, d'utiliser la m�thode de Horner pour calculer notre polyn�me.
\end{document}